实函数

Template:Expand language Template:NoteTA 实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

定義

一個實函數 Template:Math 是一個把實數（一般以 Template:Math 表示）映射到另一實數（函數的值，一般以 Template:Math 表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 $f:X\to ℝ$，當中 $X$ 是 $ℝ$ 一個包含至少一個開集的子集（可以等於 $ℝ$）。

定義於所有非負實數的平方根函數便是一個例子：$f:X\to ℝ$，當中 $X=\{x\in ℝ:x\ge 0\}$ 是所有非負實數的集合及對所有 $x\in X$，$f(x)=\sqrt{x}$。

定義域

一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 Template:Math 的實函數 Template:Math 和任一 Template:Math 的子集 Template:Math，可定義 Template:Math 對 Template:Math 的限制函數 Template:Math。其定義域為 Template:Math 而對所有 Template:Math 的元素，函數的取值維持不變。若 Template:Math 是 Template:Math 的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。

相反，有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。

像與值域

函數 Template:Math 的值域是指當 Template:Math 可取定義域內任何值時，Template:Math 所有可能取值的集合。若 Template:Math 是連續實函數而其定義域是一個區間，那麼它的值域也會是一個區間（除非 Template:Math 是常數函數，此時其值域將是一點）。

對任何實數 Template:Math，方程式 Template:Math 所有實數解的集合稱為 Template:Math 的原像。

代數結構

實函數之間的運算可如下定義：

• 對任意實數 Template:Math 及實函數 Template:Math，可定義兩者的積 $rf:x\mapsto rf(x)$。若 Template:Math 不等於 0，則此函數的定義域與 Template:Math 相同。
• 對任何兩個實函數 Template:Math 和 Template:Math，可定義兩者的和 $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ 及積 $fg:x\mapsto f(x)g(x)$。兩者的定義域均為 Template:Math 和 Template:Math 的定義域的交集。

由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 $ℝ$ 上的結合代數（也因此組成一個向量空間），其中加法和乘法單位元分別為常數函數 $0_f:x\mapsto 0$ 及 $1_f:x\mapsto 1$。

雖然對任意實函數 Template:Math 可定義 $1/f:x\mapsto 1/f(x)$，但由於此函數的定義域不包含所有使得 Template:Math 的 Template:Math 值，它不一定等於 Template:Math 的定義域，所以上述代數結構不構成一個體。

參見

• 實分析