中值定理

在數學分析中，均值定理（Template:Lang-en）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。Template:Notetag

更仔細點講，假設函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 連續且在開區間 $(a,b)$ 可微，則存在一點$c,a<c<b$，使得

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

罗尔中值定理

罗尔定理的几何意义

Template:Main 如果函数$f(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$，使得$$f^{\prime }(\xi )=0$$

这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（均值定理）

拉格朗日中值定理的几何意义

Template:Main 令$f:[a,b]\to 𝐑$为闭区间$[a,b]$上的一个连续函数，且在开区间$(a,b)$内可导，其中$a<b$。那么在$(a,b)$上存在某个$c$使得

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

此定理称为拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 $f:[a,b]\to ℝ$ 在 $[a,b]$ 连续，且在開區間 $(a,b)$ 内对任意一點 $x$，极限

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于$f^{\prime }(x)$。這版本定理应用的一个例子是函數 $x\to x^{1/3}$，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 $x$ 定义$f(x)=e^{ix}$。那么

$f(2\pi )-f(0)=0\ne f^{\prime }(c)(2\pi -0)$

因$|f^{\prime }(x)|=1\ne 0$ 时，$c$ 為開區間 $(0,2\pi )$ 中任意一點。

柯西中值定理

Template:Main 柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 $f$ 和 $g$ 都在闭区间$[a,b]$ 上连续，且在开区间 $(a,b)$ 上可导，那么存在某个$c\in (a,b)$，使得

柯西定理的几何意义

$$(f(b)-f(a))g{}^{\prime }(c)=(g(b)-g(a))f{}^{\prime }(c)$$

当然，如果$g(a)\ne g(b)$ 且 $g^{\prime }(c)\ne 0$，則可表示成：

$$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

在几何上，这表示曲线 $$\{\begin{array}{c}[a,b]\to {ℝ}^2\\ t\mapsto (f(t),g(t))\end{array}$$ 上存在一點其切線平行于由兩點（$f(a),g(a)$）和（$f(b),g(b)$）所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些$c$值使$f(c)=g(c)=0$，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

$$t\mapsto (t^3,1-t^2)$$

在区间$[-1,1]$上，曲线由$(-1,0)$到$(1,0)$，却并无一个水平切线，但在$t=0$处有一个驻点（实际上是一个尖点）。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当$g(t)=t$时的特殊情况。

积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理

设$f:[a,b]\to ℝ$为一连续函数，$g:[a,b]\to ℝ$要求$g(x)$是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点$\xi \in (a,b)$使得

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(\xi )\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$。

证明

在不失去一般性的条件下，设对所有$x$，有$g(x)\ge 0$； 因为$f$是闭区间上的连续函数，$f$取得最大值$M$和最小值$m$。于是 $mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$

对不等式求积分，我们有 $m\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx\le M\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$。 若$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=0$，则$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=0$。$\xi$可取$[a,b]$上任一点。

若不等于零那么$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx>0$， $$m\le \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx}\le M$$ 因为$m\le f(x)\le M$是连续函数，根據介值定理，则必存在一点$\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx}$

$g(x)<0$的情况按同样方法证明。

积分第一中值定理推论的几何意义

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令$g(x)=1$，则可得出：

设$f:[a,b]\to 𝐑$为一连续函数，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$$f(\xi )=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx}{b-a}$$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设$F(x)$在$[a,b]$上可导，$f(x)=F^{\prime }(x)$，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$$f(\xi )=F^{\prime }(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx}{b-a}$$

积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若$f,g$在$[a,b]$上黎曼可积且$f(x)$在$[a,b]$上单调，则存在$[a,b]$上的点ξ使 $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(a)\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}g(x)\mathrm{d}x+f(b)\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$$

退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令$g(x)=1$，则原公式可化为： $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )$ 进而导出： $$\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f(x)dx-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$

此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

参见

• 罗尔定理
• 柯西中值定理
• 介值定理
• 极值定理