微分

Template:微積分學 Template:Not 函数的微分（Template:Lang-en）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由$y$是$x$的函数($y=f(x)$)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量$x$的变化量趋近于0时($\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$)，因变量$y$的变化量也趋近于0，但$x$和$y$的变化量都趋近于0。当$x$有极小的变化量时，这称为$x$的微分。

当某些函数$f$的自变量$x$有一个微小的改变$h$时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量$h$，可以表示成$h$和一个与$h$无关，只与函数$f$及$x$有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在$h$上的值。

另一部分是比$h$更高阶的无穷小，也就是说除以$h$后仍然会趋于零。当改变量$h$很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在$x$处的微分，记作$f^{\prime }(x)h$或$\text{d}{f}_x(h)$。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量$h$映射到变化量的线性部分的线性映射$\text{d}{f}_x$。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定义

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函数在一点的微分。其中红线部分是微分量$\text{d}y$，而$\text{d}y$加上灰线部分后是实际的改变量$\mathrm{\Delta }y$

设函数$y=f(x)$在某区间$ℐ$内有定义。对于$ℐ$内一点$x_0$，当$x_0$变动到附近的$x_0+\mathrm{\Delta }x$（也在此区间内）时，如果函数的增量$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$可表示为 $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$（其中$A$是不依赖于$\mathrm{\Delta }x$的常数），而$o(\mathrm{\Delta }x)$是比$\mathrm{\Delta }x$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_0$是可微的，且$A\mathrm{\Delta }x$称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$\mathrm{\Delta }x$的微分，记作$\text{d}y$，即$\text{d}y=A\mathrm{\Delta }x$，$\text{d}y$是$\mathrm{\Delta }y$的线性主部。Template:R

通常把自变量$x$的增量$\mathrm{\Delta }x$称为自变量的微分，记作$\text{d}x$，即$\text{d}x=\mathrm{\Delta }x$。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念Template:R。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分$\text{d}x$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数$y=f(x)$的微分又可记作$\text{d}y=f^{\prime }(x)\text{d}x$。

几何意义

设$\mathrm{\Delta }x$是曲线$y=f(x)$上的点$P$在横坐标上的增量，$\mathrm{\Delta }y$是曲线在点$P$对应$\mathrm{\Delta }x$在纵坐标上的增量，$\text{d}y$是曲线在点$P$的切线对应$\mathrm{\Delta }x$在纵坐标上的增量。当$\left|\mathrm{\Delta }x\right|$很小时，$|\mathrm{\Delta }y-\text{d}y|$比$\left|\mathrm{\Delta }x\right|$要小得多(高阶无穷小)，因此在点$P$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数$f:x\mapsto x^2$，考虑它从某一点$x$变到$x+\text{d}x$。这时，函数的改变量$f(x+\text{d}x)-f(x)$等于：

$f(x+\text{d}x)-f(x)=(x+\text{d}x{)}^2-x^2$

$=2x\cdot \text{d}x+(\text{d}x{)}^2=A\text{d}x+o(\text{d}x)$

其中的线性主部：$Adx=2xdx$，高阶无穷小是$o(\text{d}x)=(\text{d}x{)}^2$。 因此函数$f$在点$x$处的微分是$\text{d}y=2x\text{d}x$。函数的微分与自变量的微分之商$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x=f^{\prime }(x)$，等于函数的导数。

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(a{x}^n)}{\mathrm{d}x}$，尤其$y=a{x}^n$

$=na{x}^{(n-1)}$

以下有一例子： 當方程式為$y=2x^2$時，就會有以下的微分過程。

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

$=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}$

$=2\cdot 2x^{(2-1)}$

$=4x$

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数$u$、$v$可微，那么：

• $\mathrm{d}(au+bv)=\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv=a\mathrm{d}u+b\mathrm{d}v$
• $d(uv)=udv+vdu$
• $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$
• 若函数$y(u)$可导，那么$d[y(u)]=y^{\prime }(u)du$Template:R

多元函数微分

Template:Main 当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定义

设$f$是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集$\mathrm{\Omega }$射到R^m的一个函数。对于$\mathrm{\Omega }$中的一点$x$及其在$\mathrm{\Omega }$中的邻域$\mathrm{\Lambda }$中的点$x+h$。如果存在线性映射$A$使得对任意这样的$x+h$,

$\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}\right)=0$

那么称函数$f$在点$x$处可微。线性映射$A$叫做$f$在点$x$处的微分，记作$\text{d}{f}_x$。

如果$f$在点$x$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点$x$都有微分$\text{d}{f}_x$时，可以考虑将$x$映射到$\text{d}{f}_x$的函数：

$\text{d}f:x\mapsto \text{d}{f}_x$

这个函数一般称为微分函数。

性质

• 如果$f$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设$f$是从Rⁿ射到R^m的函数，$f=(f_1,f_2,\cdots ,f_m)$，那么：

$\text{d}{f}_x=J_f(x)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$。

具体来说，对于一个改变量：$h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)=\sum _{i=1}^n{h}_i{e}_i$，微分值：

$\text{d}{f}_x(h)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ ⋮\\ h_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}{h}_j\right)e_i$

• 可微的必要条件：如果函数$f$在一点$x_0$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都存在，但反之不真Template:R。
• 可微的充分条件：如果函数$f$在一点$x_0$的雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都在$x_0$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真Template:R。

例子

函数$f:(x,y)\mapsto (x^2+y^2,(1-x^2-y^2)x-y,x-(1-x^2-y^2)y)$是一个从${ℝ}^2$射到${ℝ}^3$的函数。它在某一点$(x,y)$的雅可比矩阵为：

$J_f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}2x& 2y\\ 1-3x^2-y^2& -2xy-1\\ 1+2xy& -1+x^2+3y^2\end{array}\right]$

微分为：$\text{d}{f}_{(x,y)}:h\mapsto J_f(x,y)(h)$，也就是：

$\text{d}{f}_{(x,y)}:h=\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)\mapsto \left[\begin{array}{cc}2x& 2y\\ 1-3x^2-y^2& -2xy-1\\ 1+2xy& -1+x^2+3y^2\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x{h}_1+2y{h}_2\\ (1-3x^2-y^2)h_1-(2xy+1)h_2\\ (1+2xy)h_1-(1-x^2-3y^2)h_2\end{array}\right)$

微分与微分形式

Template:Main 如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点$x$给出一个近似描述函数性质的线性映射$\text{d}{f}_x$，而微分形式对区域$𝐃$内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：$\omega (x):{𝐓𝐃}_x⟶ℝ$。在坐标记法下，可以写成：

$\omega (x)=\sum _{1\le i_1\le \cdots \le i_k\le n}{a}_{i_1\cdots i_k}(x)\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$

其中的$\text{d}{x}^i$是$i$-射影算子，也就是说将一个向量$v$射到它的第$i$个分量$v^i$的映射。而$\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$是满足：

$\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}(v_1,\cdots v_k)=\left|\begin{array}{ccc}{v}_1^{i_1}& \cdots & v_1^{i_k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ v_k^{i_1}& \cdots & v_k^{i_k}\end{array}\right|$

的k-形式。

特别地，当$f$是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将$\text{d}{f}_x$写作：

$\text{d}{f}_x=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\text{d}{x}^i$

正是上面公式的一个特例。

参见

• 微分学
• 微积分
• 导数
• 积分
• 偏导数
• 外微分
• 泰勒公式

参考来源

• Template:Cite book
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