函數極限

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函數的圖形，請注意在$x=0$處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數$\frac{\sin x}{x}$的定義域中不包括“0”，但當$x$無限接近於零時，$\frac{\sin x}{x}$就無限接近於 1，換句話說，$x$接近於零時，$\frac{\sin x}{x}$的極限是 1。

在數學中，函數極限（Template:Lang-en）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 $f$ 於 $a$ 的極限為 $L$ ，直觀上意為當 $x$ 無限接近 $a$ 時，$f(x)$ 便無限接近 $L$ 。

正式定義

動機

如果取 $\delta$ 為＂ $x$ 與 $a$ 差距的上限＂；類似地，取 $ϵ$ 為＂ $f(x)$ 與 $L$ 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 $\delta >0$ ，存在 $0<ϵ\le \delta$，使得對所有的 $x\in D_f$ ，只要 $0<|x-a|<\delta$ 就有 $|f(x)-L|<ϵ$

其中 $ϵ\le \delta$ 是要確保 $\delta$ 越來越小時， $ϵ$ 也會越來越小； $0<|x-a|<\delta$ 是為了凸顯 $x$ 是逼近而非等於 $a$ ，但對應的 $f(x)$ 是可以等於 $L$ 的。

但對於实函数 $f(x)=x^2$ 逼近 $a=0$ 時，考慮到 $\delta \ge 1$ 的部分；在 ${|x-0|}^2<{\delta }^2$ 下是沒有這樣的 $ϵ$ 使得 $0<ϵ\le \delta$ 且 $|x^2-0|<ϵ$ 的，但數值上 $f(x)=x^2$ 的確在 $a=0$ 時很靠近 $0$ ，也就是 $ϵ\le \delta$ 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 $x$ 的變化去限制 $f(x)$ 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 $ϵ$ 出發，去找怎樣的 $x$ 會讓 $f(x)$ 與 $L$ 的差距小於 $ϵ$ ，也就是從＂若對所有的 $ϵ>0$ 存在 $\delta >0$ ＂出發的話，顯然上面 $f(x)=x^2$的例子只要取 $\delta =\sqrt{ϵ}$ 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 $ϵ$ 和 $\delta$ 的最小值為 $x$ 與 $a$ 差距的上限，還是會有 $|f(x)-L|<ϵ$ ，這樣就可以用 $ϵ$ 控制 $x$ 的變化，而滿足＂ $x$ 趨近於 $a$ 時 $f(x)$ 趨近於 $L$ ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 $\delta >0$，都有 $x\in D_f$ 使得 $0<|x-a|<\delta$ ，所以定義函數極限之前必須要求 $a$ 為 $D_f$ 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 $r>0$ 使得 $f(x)$ 在 $0<|x-a|<r$ 都有定義，也就是存在 $a$ 的去心鄰域使 $f(x)$ 都有定義，這樣的話 $a$ 會自動成為 $D_f$ 的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限

$f$

為实函数，

$a\in ℝ$

為

$D_f$

的極限點且

$L\in ℝ$

，若＂對所有的

$ϵ>0$

，存在

$\delta >0$

，使得對所有的

$x\in D_f$

只要

$0<|x-a|<\delta$

就有

$|f(x)-L|<ϵ$

＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)[(0<|x-a|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<ϵ)]$

則以

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

表示，稱

$L$

為實函數

$f$

於

$a$

的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域

$D_f$

的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的

$\delta >0$

存在

$x\in D_f$

使得

$x>\delta$

＂。也就是直觀上可以用定義域

$D_f$

裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，

$L\in ℝ$

，且若＂對所有

$ϵ>0$

，存在

$\delta >0$

，使得對所有的

$x\in D_f$

只要

$x>\delta$

時，有

$|f(x)-L|<ϵ$

＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)[(x>\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<ϵ)]$

則稱

$L$

為實函數

$f$

於正無窮大（

$\mathrm{\infty }$

）的極限，記作

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$

類似的，若假設＂對所有的

$\delta <0$

存在

$x\in D_f$

使得

$x<\delta$

＂，那在這種條件下，

$L\in ℝ$

，且若＂對所有

$ϵ>0$

，存在

$\delta <0$

，使得對所有的

$x\in D_f$

只要

$x<\delta$

時，有

$|f(x)-L|<ϵ$

＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta <0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)[(x<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<ϵ)]$

則稱

$L$

為實函數

$f$

於負無窮大（

$-\mathrm{\infty }$

）的極限，記作

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$

制限極限

直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

定理

若 $A\cup B=D_f$ 且 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的极限点，則

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

等價於

$\underset{x\to a}{\lim }f{|}_A(x)=L$ 且 $\underset{x\to a}{\lim }f{|}_B(x)=L$

上述定理的證明只須注意到

$a$

也必為

$D_f$

的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到

$A\cup B=D_f$

，還有對

$x\in A$

取

${\delta }_A$

的和

$x\in B$

取的

${\delta }_B$

，那只要取

$\delta$

為

${\delta }_A$

和

${\delta }_B$

的最小值，對所有

$x\in D_f$

就有

$(0<|x-a|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<ϵ)$

；反過來由原函數

$f$

推出

$f{|}_A$

和

$f{|}_B$

的狀況是非常顯然的。

左右極限

若取

$A=\{x\in D_f|x\ge a\}$

$B=\{x\in D_f|x\le a\}$

如果假設 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的极限点，那 $A$ 和 $B$ 顯然符合上面定理的要求的，而這時

$\underset{x\to a}{\lim }f{|}_A(x)=L$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的右極限＂，也可以用 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$ 表示。

類似的

$\underset{x\to a}{\lim }f{|}_B(x)=L$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的左極限＂，也可以用 $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L$ 表示。

常用公式

有理函數

以下公式中，$n>0,a>1$。

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^n}=0$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{a^x}=0$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }.$

無理函數

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{x}=1$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

三角函數

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$

指數函數

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1$

對數函數

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln x=+\mathrm{\infty }$