方根

在数学中，一數$b$為数$a$的$n$次方根，則$b^n=a$。在提及实数$a$的$n$次方根的时候，若指的是此数的主$n$次方根，則可以用根号（$\sqrt{t}$）表示成$\sqrt[n]{a}$。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作$\sqrt[10]{1024}=2$。當$n=2$時，則$n$可以省略。定义实数$a$的主$n$次方根为$a$的$n$次方根，且具有与$a$相同的正负号的唯一实数$b$。在$n$是偶数時，负数没有主$n$次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數$b$為数$a$的$\frac{1}{n}$次方：

$b=\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

符号史

Template:Main 最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号$\sqrt{x}$。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算可由如下公式推導而得:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}a\ge 0,b\ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$

$\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}},$

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数$a$，有$n$个不同的复数$b$使得$b^n=a$，所以符号$\sqrt[n]{a}$就會出現歧义（通常這樣寫是取$n$個值當中主幅角最小的）。$n$次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

$a^m{a}^n=a^{m+n}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$

${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

例如:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4}=a^{\frac{5}{3}}{a}^{\frac{4}{5}}=a^{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}}=a^{\frac{37}{15}}$

若要做加法或减法，需考慮下列的概念。

$\sqrt[3]{a^5}=\sqrt[3]{aaaaa}=\sqrt[3]{a^3{a}^2}=a\sqrt[3]{a^2}$

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$

$=\sqrt[3]{a^3{a}^2}+\sqrt[3]{a^6{a}^2}$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$

$=(a+a^2)\sqrt[3]{a^2}$

不尽根数

未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

• $\sqrt{a^{2}b}=abs(a)\sqrt{b}$

• $\sqrt[n]{a^{m}b}=a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

• $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

• ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{-1}=\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

$\begin{array}{cc}& (1+x{)}^{\frac{s}{t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{k=0}^n(s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}{x}^n\\ & (|x|<1)\end{array}$

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式$a{e}^{i\phi }$(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

$e^{(\frac{\phi +2k\pi }{n})i}\times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\dots ,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

正实数

所有$x^n=a$或$a$的$n$次方根，这裡的$a$是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

$e^{2\pi i\frac{k}{n}}\times \sqrt[n]{a}$

对于$k=0,1,2,\dots ,n-1$，这裡的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

解多项式

曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

$x^5=x+1$

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

算法

對於正數$A$，可以通過以下算法求得$\sqrt[n]{A}$的值：

1. 猜一個$\sqrt[n]{A}$的近似值，將其作為初始值$x_0$
2. 設 $x_{k+1}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$。記誤差為$\mathrm{\Delta }{x}_k=\frac{1}{n}[\frac{A}{x_k^{n-1}}-x_k]$，即$x_{k+1}=x_k+\mathrm{\Delta }{x}_k$。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：$|\mathrm{\Delta }{x}_k|<ϵ$。

從牛頓法導出

求$\sqrt[n]{A}$之值，亦即求方程$x^n-A=0$的根。

設$f(x)=x^n-A$，其導函數即$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。

以牛頓法作迭代，便得

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$

$=x_k-\frac{x_k^n-A}{n{x}_k^{n-1}}$

$=x_k-\frac{x_k}{n}+\frac{A}{n{x}_k^{n-1}}$

$=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$

從牛頓二項式定理導出

設$x_k$為迭代值，$y$為誤差值。

令$A=(x_k-y{)}^n$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：$A\approx x_k^n-n{x}_k^{n-1}y$

調項得$y\approx \frac{x_k^n-A}{n{x}_k^{n-1}}=\frac{1}{n}(x_k-\frac{A}{x_k^{n-1}})$

將以上結果代回（*），得遞歸公式$x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$

参见

• 增乘开平方法
• 幂
• 无理数
• 分母有理化
• 双重根号
• 2的12次方根

外部链接

• 高階根號求解 Template:Wayback。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根Template:Dead link
• 指數-高中數學教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) Template:Wayback