分數

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

分數（Template:Lang-en）是用分式（分數式）表達成$\frac{a}{b}$的数（$a,b\in Z,b\ne 0$）。在上式之中，$b$稱為分母（denominator）而$a$稱為分子（numerator），可視為某件事物平均分成$b$份中佔$a$份，讀作「$b$分之$a$」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用$a/b$來表示分數。

用法

分數有各種不同的用法與意義：

• 兩個整數的比例：$\frac{a}{b}\equiv a:b(a,b\in \mathbb{Z},a,b\ne 0)$，這是兩個數量的比較關係。
• 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
• 整數除法：$\frac{a}{b}\equiv a÷b(a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0)$，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
• 等分：$\frac{1}{3}$表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。$\frac{1}{3}$也就是$3$這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

分類

最簡分數（既约分数）（irreducible fraction）

分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：$\frac{4}{15}$

真分數（proper fraction）

除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：$\frac{3}{7}$

假分數（top-heavy/improper fraction）

假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：$\frac{5}{3}$和$\frac{8}{8}$

帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number）

一個整數（whole number）加一個真分數，例如$a\frac{b}{c}$，讀作「a又c分之b」；又例如$1\frac{1}{2}$，就是一又二分之一。可寫成假分數，與$\frac{(a\times c)+b}{c}$等價。

十進位分數（decimal fraction）

分母為$10$的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，$\frac{1}{100}$一般记为$0.01$，也可以百分率簡記為$1\mathrm{\%}$，或是以$10$的冪記為$10^{-2}$。

單位分數

分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：$\frac{1}{99}$

古埃及分數（Egyptian fraction）

將分數表達成單位分數之和。例如：$\frac{19}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180}$

繁分數

分子和/或分母包含了分數的分數，例如$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于$\frac{ad}{bc}$。

連分數

外觀如$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$的分數，其中$a_i$是整數。若只有有限個$a_i$非零，則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

约分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。 約分後的分數和原來分數的值相等。$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

• $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

• $\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{3+5}{15}=\frac{8}{15}$

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

$\frac{1}{5}÷\frac{7}{11}=(\frac{1}{5}\times 11)÷(\frac{7}{11}\times 11)=(\frac{1}{5}\times 11)÷7=(\frac{1}{5}\times 11\times \frac{1}{7})÷(7\times \frac{1}{7})$

$=\frac{1}{5}\times \frac{11}{7}=\frac{1\times 11}{5\times 7}=\frac{11}{35}$

相關話題

• 有理數
• 倒數
• 除以零
• 法里數列
• 連分數
• 分母有理化
• 偶然對消

外部連結

• Template:Cite encyclopedia
• Template:MathWorld
• Template:Cite encyclopedia
• Template:Cite encyclopedia
• Template:Cite encyclopedia
• Online program for exact conversion between fractions and decimals
• Online Fractions Calculator with detailed solution
• Fraction Practice Template:Wayback endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.