冪

Template:Otheruses Template:Split Template:Refimprove Template:NoteTA Template:Infobox symbol Template:Sidebar 在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（Template:Lang-en，power）；由此，若 $n$ 為正整數，$n$ 个相同的数 $b$ 连续相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可将 $b^n$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

$b^n=\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}$

幂運算（Template:Lang）又稱指數運算、取冪，是數學運算，表達式為 $b^n$，讀作「$b$ 的 $n$ 次方」或「$b$ 的 $n$ 次幂」。其中，$b$ 稱為底數，而 $n$ 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中，$b^n$ 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“$b$ 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“$b$ 的立方”。

由於在十进制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂則在計算機科學中相當重要。

Template:Clarify。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

$b^0=1(b\ne 0)$

$b^{-n}=\frac{1}{\underset{n}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}}=\frac{1}{b^n}={\left(\frac{1}{b}\right)}^n(b\ne 0)$。

若以分數為指數的冪，則定義：

$b^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{b^n}$，

即 $b$ 的 $n$ 次方再开 $m$ 次方根。

0的0次方（$0^0$）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。

此外，當 $n$ 是複數，且 $b$ 是正實數時，

$b^n=\exp (n\ln (b))$

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

重要的恆等式

运算法则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m÷a^n=a^{m-n}$

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除($b$不為0)：

$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

其他等式

• $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$
• $x^{-m}=\frac{1}{x^m}(x\ne 0)$
• $x^0=1(x\ne 0)$
• $x^1=x$
• $x^{-1}=\frac{1}{x}(x\ne 0)$

运算律

加法和乘法存在交换律，比如：$2+3=5=3+2$，$2\times 3=6=3\times 2$，但是幂的运算不存在交换律，$2^3=8$，但是$3^2=9$。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：$(2+3)+4=9=2+(3+4)$，$(2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)$。不過，冪運算沒有結合律：$(2^3{)}^4=8^4=4096$，而$2^{(3^4)}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352$，所以$(2^3{)}^4\ne 2^{(3^4)}$。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m{)}^n=a^{mn}$
• $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
• $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$
• $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

整数指数幂

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式$a^2=a\cdot a$被称作$a$的平方，因为边长为$a$的正方形面积是$a^2$。

表达式$a^3=a\cdot a\cdot a$被称作$a$的立方，因为邊长为$a$的正方体体积是$a^3$。

所以$3^2$读作「3的平方」，$2^3$读作「2的立方」。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如$3^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

$a^n=\{\begin{array}{cc}1& (n=0)\\ a\cdot a^{n-1}& (n>0)\\ {\left(\frac{1}{a}\right)}^{-n}& (n<0)\end{array}$

指数是1或者0

注意$3^1$表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意$3^5=3\times 3^4$，$3^4=3\times 3^3$，$3^3=3\times 3^2$，$3^2=3\times 3^1$，

继续，得到$3^1=3\times 3^0=3$，所以$3^0=1$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则$\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$

当$m=n$时，$1=\frac{x^n}{x^n}=x^{n-n}=x^0$

• 任何数的1次方是它本身。

零的零次方

Template:Main $0^0$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是$0^0=1$ ，在程式语言中（python） $0**0=1$

在这里给出这一种极限的看法

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=0^0$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

负数指数

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

$a^{-1}=\frac{1}{a}$

对于非零$a$定义

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$,

而$a=0$时分母為 0 没有意义。

证法一：

根据定义$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$，当$m=-n$时

$a^{-n}{a}^n=a^{-n+n}=a^0=1,$

得$a^{-n}{a}^n=1$, 所以$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。

证法二：

通过运算法则$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

当$m=0$时，可得$a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}$

负数指数$a^{-n}$还可以表示成1连续除以$n$个$a$。比如：

$3^{-4}=\frac{\frac{\frac{\frac{1}{3}}{3}}{3}}{3}=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}$.

特殊数的幂

10的幂

Template:Main 在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：$10^3=1000,10^{-3}=0.001$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 $2.99792458\times 10^8$，近似值 $2.998\times 10^8$ 或 $3\times 10^8$

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 $10^3$，词头“毫”就是 $10^{-3}$

1的幂

1的任何次幂都为1。

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当$a>1$，$n\to \mathrm{\infty }$，$a^n\to \mathrm{\infty }$

当$a<-1$，$n\to \mathrm{\infty }$，$a^n\to -\mathrm{\infty }$ 或 $\mathrm{\infty }$ , (視乎n 是奇數或偶數)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当$|a|<1$，$n\to \mathrm{\infty }$，$a^n\to 0$

1的幂永远都是1

当$a=1$，$n\to \mathrm{\infty }$，$a^n\to 1$

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当$n\to \mathrm{\infty },{(1+\frac{1}{n})}^n\to e$

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

从上到下：$x^{\frac{1}{8}},x^{\frac{1}{4}},x^{\frac{1}{2}},x^1,x^2,x^4,x^8$

一个数$a$的$n$次方根是$x$，$x$使$x^n=a$。

如果$a$是一个正实数，$n$是正整数，那么方程$x^n=a$只有一个正实数根。 这个根被称为$a$的$n$次方根，记作：$\sqrt[n]{a}$，其中$\sqrt{}$叫做根号。或者，$a$的$n$次方根也可以写成$a^{\frac{1}{n}}$. 例如$4^{\frac{1}{2}}=2,8^{\frac{1}{3}}=2$

当指数是$\frac{1}{2}$时根号上的2可以省略，如：$\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{4}=2$

有理数幂

有理数指数幂定义为

$a^{\frac{m}{n}}=(a^m{)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

e的幂

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

指数函数的定义是：

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

可以很简单地证明e的正整数k次方$e^k$是：

$e^k={\left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\right]}^k$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{n\cdot k})}^{n\cdot k}$

$=\underset{n\cdot k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{n\cdot k})}^{n\cdot k}$

$=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{m})}^m$

实数指数幂

Template:Nowrap對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成：

$b^x=\underset{r\to x}{\lim }{b}^r,$

例如：

$x\approx 1.732$

于是

$5^x\approx 5^{1.732}=5^{\frac{433}{250}}=\sqrt[250]{5^{433}}\approx 16.241$

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数$\ln x$是指数函数$e^x$的反函数。 它的定义是：对于任意$b>0$，满足

$b=e^{\ln b}$

根据对数和指数运算的规则：

$b^x=(e^{\ln b}{)}^x=e^{x\cdot \ln b}$

这就是实数指数幂的定义：

$b^x=e^{x\cdot \ln b}$

实数指数幂$b^x$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂

如果$a$是负数且$n$是偶数，那么$x=a^n$是正數。如果$a$是负数且$n$是奇数，那么$x=a^n$是负数。

使用对数和有理数指数都不能将$a^k$（其中$a$是负实数，$k$实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于$a^{\frac{m}{n}}$（$n$是奇数）可以使用$n$次方根来计算，但是因为没有实数$x$使$x^2=-1$，对于$a^{\frac{m}{n}}$（$n$是偶数）时必须使用虚数单位$i$。

使用对数的方法不能定义$a\le 0$时的$a^k$为实数。实际上，$e^x$对于任何实数$x$都是正的，所以$\ln (a)$对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数$a$因为它依赖于连续性。函数$f(r)=a^r$对于任何正的有理数$a$是连续的，但是对于负数$a$，函数$f$在有些有理数$r$上甚至不是连续的。

例如：当$a=-1$，它的奇数次根等于-1。所以如果$n$是正奇数整数，$-1^{\frac{m}{n}}=-1$当$m$是奇数，$-1^{\frac{m}{n}}=1$当$m$是偶数。虽然有理数$q$使$-1^q=1$的集合是稠密集，但是有理数$q$使$-1^q=-1$的集合也是。所以函数$-1^q$在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂

e的虚数次幂

指数函数e^z可以通过Template:Nowrap当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是Template:Nowrap的极限。在这个动画中n从1取到100。Template:Nowrap的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是Template:Nowrap的准确值。可以看出，随着N的增大，Template:Nowrap逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解$e^{ix}$（$x$是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形$(0,1,1+\frac{ix}{n})$（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的$n$，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于$\frac{x}{n}$弧度。对于所有$k$，三角形$(0,(1+\frac{ix}{n}{)}^k,(1+\frac{ix}{n}{)}^{k+1})$互为相似三角形。所以当$n$足够大时$(1+\frac{ix}{n}{)}^n$的极限是复数平面上的单位圆上$x$弧度的点。这个点的极坐标是$(r,\theta )=(1,x)$，直角坐标是$(\cos x,\sin x)$。所以$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式$e^z=1$的解是一个整数乘以$2i\pi$：

$\{z:e^z=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb{Z}\}.$

更一般地，如果$e^b=a$，那么$e^z=a$的每一个解都可以通过将$2i\pi$的整数倍加上$b$得到：

$\{z:e^z=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb{Z}\}.$

这个复指数函数是一个有周期$2i\pi$的周期函数。

更简单的：$e^{i\pi }=-1;e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$。

三角函数

Template:主条目 根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

$\cos z=\frac{e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}\sin z=\frac{e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}$

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.$

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

$e^{x+iy}$可以分解成$e^x\cdot e^{iy}$。其中$e^x$是$e^{x+iy}$的模，$e^{iy}$决定了$e^{x+iy}$的方向

正实数的复数幂

如果$a$是一个正实数，$z$是任何复数，$a^z$定义成$e^{z\cdot \ln (a)}$，其中$x=\ln (a)$是方程$e^x=a$的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

$2^i=e^{i\cdot \ln (2)}=\cos \ln 2+i\cdot \sin \ln 2=0.7692+0.63896i$

Template:計算結果

Template:計算結果

$(e^{2\pi }{)}^i=535.49^i=1$

复数的复数幂

複數的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始：计算${(1+i)}^i$。

$\begin{array}{cc}{(1+i)}^i& ={\left[\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)\right]}^i\\ & ={\left(\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}i}\right)}^i\\ & =e^{-\frac{\pi }{4}}{\sqrt{2}}^i\\ & =e^{-\frac{\pi }{4}}\cos \frac{\ln 2}{2}+i{e}^{-\frac{\pi }{4}}\sin \frac{\ln 2}{2}\\ \end{array}$

其中${\sqrt{2}}^i$的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算${(1+i)}^{2+i}$：

$\begin{array}{cc}{(1+i)}^{2+i}& ={(1+i)}^2{(1+i)}^i\\ & =2i{e}^{-\frac{\pi }{4}}(\cos \frac{\ln 2}{2}+i\sin \frac{\ln 2}{2})\\ & =-2e^{-\frac{\pi }{4}}\sin \frac{\ln 2}{2}+2i{e}^{-\frac{\pi }{4}}\cos \frac{\ln 2}{2}\\ \end{array}$

一般情况

复数的复数幂必须首先化为底数为$e$的形式：

$w^z=e^{z\ln w}$

又，由复数的极坐标表示法：

$w=r{e}^{i\theta }$

故

$w^z=e^{z\ln (w)}=e^{z(\ln (r)+i\theta )}$。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角$\theta$的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

在函數中

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如$f^3(x)$即$f(f(f(x)))$。特別地，$f^{-1}(x)$指$f(x)$的反函數。

但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如：$(\sin x{)}^{-1}$表示$\csc x$。因此在三角函數時，使用${\sin }^{-1}x$來表示$\sin x$的反函數$\arcsin x$。

计算自然数（正整数）$n$的$a^n$的算法

最快的方式计算$a^n$，当$n$是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的時間複雜度為$O(\log n)$，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為$O(n)$），在$n$較大的時候更為顯著。

例如計算$a^{100}$，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算$a^n(n<0)$可先以上述算法計算$a^{|n|}$，再作倒數。

另見

• 迭代冪次

外部連結

• 指數的歷史