分母有理化

分母有理化，简称有理化，指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。

有理化后通常方便运算，有理化的过程可能會影響分子，但分子及分母的比例不變。

单项式

应用一般根号运算：

$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$

$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}$

二项式

应用平方差公式：

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

$\frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}$

$\frac{1}{\sqrt{a}-b}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}$

应用立方和、立方差公式：

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}b+b^2}{a+b^3}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}b+b^2}{a-b^3}$

多项式

逐项有理化

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{a-b-c^2-2c\sqrt{b}}$

辗转相除法

设$x=\sqrt[3]{2}$有理化$\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}$

$(x^3-2)u(x)+(1+2x+3x^2)v(x)=1$

$u(x)=\frac{-1}{89}(50+3x),v(x)=\frac{1}{89}(-11+16x+x^2)$

$\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}=v(\sqrt[3]{2})=\frac{1}{89}(-11+16\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

待定系数法

$x^3=2x^2+3x+4$，求$\frac{1}{3+2x+x^2}$

设$(3+2x+x^2)(a+bx+c{x}^2)=1$

$\left(\begin{array}{ccccc}1& x& x^2& x^3& x^4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& x& x^2& x^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 3& 4\\ 1& 2& 6\\ 0& 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 16\\ 2& 6& 16\\ 1& 4& 14\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 16\\ 2& 6& 16\\ 1& 4& 14\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{22}\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 1\end{array}\right)$

$\frac{1}{x^2+2x+3}=\frac{x^2-6x+10}{22}$

参见

• 辗转相除法