立方根

$y=\sqrt[3]{x}(x\ge 0)$的图像

如果一個數$x$的立方等於$a$，那麼這個數$x$就是$a$的立方根，其中$a$稱為被開方數，而$x$可以是正數、0、負數或虚数。例如3的立方為27，那麼這個數3就是27的一个立方根（在实数范围内）。若$x$是正實數，這個乘積相當於一個邊長為$x$的立方体的体積。

符號

在实数系中，实数$a$的立方根通常用$\sqrt[3]{a}$表示，可读作「$a$的立方根」，「立方根$a$」或「根號$a$開三次方」。

值得注意的是，Template:Verify source，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数$a$的立方根唯一确定。習慣上，三次根号$\sqrt[3]{a}$僅用来表示實數解。例如：$\sqrt[3]{1}$仅表示实数1，而不表示複數$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，与$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$。

1的立方根

即解$x^3=1$，解法如下：

$\Rightarrow x^3-1=0$

$\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0$（立方差）

$\Rightarrow x-1=0$或$x^2+x+1=0$

$\Rightarrow x=1$或$x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$（公式解）

令$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，則${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$；反之，令$\omega =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$，則${\omega }^2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$。由以上的式子可看出$\omega$的特性有：

• Template:計算結果
• Template:計算結果（將$\omega$代回$x^3=1$求得）

故$\omega$可代表$\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$中的任何一數，即$\omega$為1的立方虛根。

數值方法

• 牛頓法：$x_{i+1}=\frac{1}{3}(\frac{a}{x_i^2}+2x_i)$
• Template:Link-en：$x_{i+1}=x_i\left(\frac{x_i^3+2a}{2x_i^3+a}\right)$

符号史

1220年意大利人斐波那契第一次使用$\mathrm{R}x$來表達立方根，$\mathrm{R}$源于拉丁文Template:Lang的首字母，意思为“根、方根”。

十七世紀初時，法國數學家笛卡兒（1596－1650）在他的著作幾何學中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Template:Lang）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号$\sqrt{x}$。

參見

• 方根

外部連結

• Template:Mathworld