双重根号

有双重根号的表示式在根号下还有根号，如：$\sqrt[5]{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$在5次根号下有3个2次根号项。

如果m次根号内的表示式是由一个含根号的多项式自乘m次得来的，都可以化简。

公式

a²-b为平方数时就可以化简$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$。

$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}\pm \sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{\sqrt{2}}$

例如：$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

配方法

$\sqrt{1+2\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}}=\sqrt{(1+\sqrt[5]{2}{)}^2}=1+\sqrt[5]{2}$

$\sqrt[3]{5-12\sqrt[3]{3}+6\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{(2{)}^3-3(2{)}^2\sqrt[3]{3}+3(2)\sqrt[3]{9}-3}=2-\sqrt[3]{3}$

增乘法

对于$\sqrt[m]{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}$，设$x_1=\sqrt[m]{\sqrt{a}+\sqrt{b}},x_2=\sqrt[m]{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

找x₁+x₂时需要用到$x_1^m+x_2^m=\sum _{r=0}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor }\frac{m{C}_{m-r}^r}{m-r}(x_1+x_2{)}^{m-2r}(-x_1{x}_2{)}^r$

$x=\frac{x_1+x_2\pm \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}}{2}$

$\sqrt[3]{\sqrt{27}-\sqrt{28}}$

$x_1{x}_2=\sqrt[3]{27-28}=-1$

$(x_1+x_2{)}^3+3(x_1+x_2)=6\sqrt{3},x_1+x_2=\sqrt{3}u,3u^3+3u=6,u=1,x_1+x_2=\sqrt{3}$

$\sqrt[3]{\sqrt{27}-\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$

对于$\sqrt[m]{k_1\pm k_2\sqrt{a}\pm k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}}$，设$x_1=\sqrt[m]{k_1+k_2\sqrt{a}+k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}},x_2=\sqrt[m]{k_1-k_2\sqrt{a}-k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}}$

$\sqrt{15+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}$

$x_1{x}_2=\sqrt{49+20\sqrt{6}}=5+2\sqrt{6}$

$x_1+x_2=\sqrt{40+16\sqrt{6}}=4+2\sqrt{6}$

$\sqrt{15+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}=\frac{4+2\sqrt{6}+\sqrt{20+8\sqrt{6}}}{2}=2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$\sqrt[3]{55+\frac{81}{2}\sqrt{2}+33\sqrt{3}+\frac{45}{2}\sqrt{6}}$

$x_1{x}_2=-\sqrt[3]{485+198\sqrt{6}}=-5-2\sqrt{6}$

$(x_1+x_2{)}^3+3(5+2\sqrt{6})(x_1+x_2)=5(22+9\sqrt{6}),(22-9\sqrt{6})(x_1+x_2{)}^3+3(2-\sqrt{6})(x_1+x_2)=-10,x_1+x_2=(2+\sqrt{6})u$

$-4u^3-6u=-10,u=1,x_1+x_2=2+\sqrt{6}$

$\sqrt[3]{55+\frac{81}{2}\sqrt{2}+33\sqrt{3}+\frac{45}{2}\sqrt{6}}=\frac{2+\sqrt{6}+\sqrt{30+12\sqrt{6}}}{2}=\frac{2+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$

参见

• 等幂求和
• 開根號
• 四則運算