2的12次方根

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 2的12次方根是一個代數無理數，計為$\sqrt[12]{2}$或$2^{\frac{1}{12}}$，是方程式$x^{12}-2=0$的正實根。它是音樂理論中的一個重要常數，它代表了十二平均律中半音的頻率比。

數值

$\sqrt[12]{2}$的近似值為Template:Root，其值略高於$\frac{18}{17}$ ≈ 1.0588。更好的近似值為$\frac{196}{185}$ ≈ 1.059459或$\frac{18904}{17843}$ ≈ 1.0594630948。

性質

• 方程式$x^{12}-2=0$的正實根
• 超體積為2的12維超立方體之邊長
• 其值約為Template:Root Template:OEIS
• 其連分數為：

  $\sqrt[12]{2}=1+\frac{1}{16+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}$Template:OEIS

半音音階

因為音程是頻率的比例，等於平均律半音音階劃分八度（具有2:1的比例）成12等份。

利用此比值，以半音音階的音調從最接近且高於中央C的A以頻率440開始，產生音高的順序與波的頻率如下：

音符	頻率 Hz	倍率	係數 （六處）
A	440.00	2Template:Sup	1.000000
ATemplate:Music/BTemplate:Music	466.16	2Template:Sup	1.059463
B	493.88	2Template:Sup	1.122462
C	523.25	2Template:Sup	1.189207
CTemplate:Music/DTemplate:Music	554.37	2Template:Sup	1.259921
D	587.33	2Template:Sup	1.334839
DTemplate:Music/ETemplate:Music	622.25	2Template:Sup	1.414213
E	659.26	2Template:Sup	1.498307
F	698.46	2Template:Sup	1.587401
FTemplate:Music/GTemplate:Music	739.99	2Template:Sup	1.681792
G	783.99	2Template:Sup	1.781797
GTemplate:Music/ATemplate:Music	830.61	2Template:Sup	1.887748
A	880.00	2Template:Sup	2.000000

最終的A（880 Hz）的頻率為初始的A（440 Hz）的兩倍，也就是說，他們差了八度。

間距調整

由於一個半音的頻率比接近106％，一個錄音的播放速度增加或減慢6％將會使音高向上或向下一個半音移位“半步”。

參見

• 數表
• 純律
• 音樂數學
• 方根
• 十二平均律

參考文獻

• Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
• Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
• Partch, Harry. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X