算符

在物理學领域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學

在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量$ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$或哈密頓量$\mathscr{H}(𝐪,𝐩)$決定；其中，$𝐪=(q_1,q_2,q_3,\dots ,q_n)$、$\dot{𝐪}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots ,{\dot{q}}_n)$分別是廣義坐標、廣義速度，$𝐩=(p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n)=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}$是共軛動量，$t$是時間。

假設拉格朗日量$ℒ$或哈密頓量$\mathscr{H}$與某廣義坐標$q_i$無關，則當$q_i$有所改變時，$ℒ$或$\mathscr{H}$仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於$q_i$的共軛動量$p_i$守恆。對於廣義坐標$q_i$的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群$G$的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設$S\in G$，

$S\mathscr{H}(𝐪,𝐩)=\mathscr{H}({𝐪}^{\prime },{𝐩}^{\prime })=\mathscr{H}(𝐪,𝐩)$。

在這案例裏，所有$G$的元素$S$都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管$S$作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」$T_a$能夠將粒子從坐標為$q_i$移動至坐標為$q_i+a$，以方程式表示：

$T_{a}f(q_i)=f(q_i-a)$；

其中，$f(q_i)$是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管$T_a$的作用，這物理系統的哈密頓量$\mathscr{H}$是個不變量，對應於坐標$q_i$的動量$p_i$守恆。

經典力學算符表格

算符	標記	位置	動量
平移算符	$T(\mathrm{\Delta }𝐫)$	$𝐫\to 𝐫+\mathrm{\Delta }𝐫$	$𝐩\to 𝐩$
時間演化算符	$U(\mathrm{\Delta }t)$	$𝐫(t)\to 𝐫(t+\mathrm{\Delta }t)$	$𝐩(t)\to 𝐩(t+\mathrm{\Delta }t)$
旋轉算符	$R(\widehat{𝐧},\theta )$	$𝐫\to R(\widehat{𝐧},\theta )𝐫$	$𝐩\to R(\widehat{𝐧},\theta )𝐩$
伽利略變換算符	$G(𝐯)$	$𝐫\to 𝐫+𝐯t$	$𝐩\to 𝐩+m𝐯$
宇稱算符	$P$	$𝐫\to -𝐫$	$𝐩\to -𝐩$
時間反演算符	$\mathrm{\Theta }$	$𝐫\to 𝐫(-t)$	$𝐩\to -𝐩(-t)$

• $R(\widehat{𝐧},\theta )$是旋轉矩陣，$\widehat{𝐧}$是旋轉軸向量，$\theta$是旋轉角弧。

生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

$T_{ϵ}\approx I+ϵA$；

其中，$I$是「單位算符」──變換群的單位元，$ϵ$是微小參數，$A$是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符$T_{ϵ}$作用於函數$f(x)$：

$T_{ϵ}f(x)=f(x-ϵ)$。

由於$ϵ$很微小，可以泰勒近似$f(x-ϵ)$為

$T_{ϵ}f(x)=f(x-ϵ)\approx f(x)-ϵf^{\prime }(x)$。

重寫平移算符的方程式為

$T_{ϵ}f(x)=(I-ϵ\mathrm{D})f(x)$；

其中，導數算符$\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做$N$次微小平移變換$T_{a/N}$，來代替一個有限值為$a$的平移變換$T_a$ ：

$T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)$。

現在，讓$N$變得無窮大，則因子$a/N$趨於無窮小：

$T_{a}f(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(I-(a/N)\mathrm{D}{)}^{N}f(x)$。

這表達式的極限為指數函數：

$T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm{D}}f(x)$。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

$T_{a}f(x)=(I-a\mathrm{D}+\frac{a^2{\mathrm{D}}^2}{2!}-\frac{a^3{\mathrm{D}}^3}{3!}+\cdots )f(x)$。

這方程式的右手邊可以重寫為

$f(x)-a{f}^{\prime }(x)+\frac{a^2}{2!}{f}^{″}(x)-\frac{a^3}{3!}{f}^{‴}(x)+\cdots$。

這正是$f(x-a)$的泰勒級數，也是$T_{a}f(x)$的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符Template:来源请求。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。Template:Rp

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。Template:Rp

量子算符

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符$\hat{O}$可能有很多不同的本徵值$O_i$與對應的本徵態$|e_i⟩$，這些本徵態$|e_i⟩,i=1,2,3,\cdots$，形成了具有正交歸一性的基底：Template:Rp

$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}$；

其中，${\delta }_{ij}$是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|e_i⟩$；

其中，$c_i=⟨e_i|\psi ⟩$是複係數，是在$|e_i⟩$裏找到$|\psi ⟩$的機率幅。Template:Rp

測量這動作將量子態$|\psi ⟩$改變為本徵態$|e_i⟩$的機率為$p_i=|c_i{|}^2$，測量結果是本徵值$O_i$的機率也為$p_i$。

期望值

Template:主條目 在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態$|\psi ⟩$，可觀察量$O$的期望值$⟨O⟩$定義為Template:Rp

$⟨O⟩\stackrel{def}{=}⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩$；

其中，$\hat{O}$是對應於可觀察量$O$的算符。

將算符$\hat{O}$作用於量子態$|\psi ⟩$，會形成新量子態$|\varphi ⟩$：

$|\varphi ⟩=\hat{O}|\psi ⟩=\sum _i{c}_i\hat{O}|e_i⟩=\sum _i{c}_i{O}_i|e_i⟩$。

從左邊乘以量子態$⟨\psi |$，經過一番運算，可以得到

$⟨\psi |\varphi ⟩=⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=\sum _i{c}_i{O}_i⟨\psi |e_i⟩=\sum _i|c_i{|}^2{O}_i=\sum _i{p}_i{O}_i$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量$O$的期望值：

$⟨O⟩=\sum _i{p}_i{O}_i$。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數$F(O)$的期望值：

$⟨F(O)⟩=⟨\psi |F(\hat{O})|\psi ⟩$。

例如，$F(\hat{O})$可以是${\hat{O}}^2$，即重複施加算符$\hat{O}$兩次：

$⟨O^2⟩=⟨\psi |{\hat{O}}^2|\psi ⟩$。

對易算符

Template:Main 假設兩種可觀察量$A$、$B$的算符分別為$\hat{A}$、$\hat{B}$，它們的對易算符定義為

$[\hat{A},\hat{B}]\stackrel{def}{=}\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態$|\psi ⟩$時，會給出

$[\hat{A},\hat{B}]|\psi ⟩=\hat{A}\hat{B}|\psi ⟩-\hat{B}\hat{A}|\psi ⟩$。

假設$[\hat{A},\hat{B}]=0$，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量$O$的期望值是實值：

$⟨O⟩=⟨O{⟩}^{*}$。

對於任意量子態$|\psi ⟩$，這關係都成立：

$⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\hat{O}}^{†}$是$\hat{O}$的伴隨算符，則$⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |{\hat{O}}^{†}|\psi ⟩$。因此，

$\hat{O}={\hat{O}}^{†}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。Template:Rp

矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符$\hat{I}=\sum _i|e_i⟩⟨e_i|$於算符$\hat{O}$的兩旁，可以得到Template:Rp

$\hat{O}=\sum _{i,j}|e_i⟩⟨e_i|\hat{O}|e_j⟩⟨e_j|=\sum _{ij}{O}_{i,j}|e_i⟩⟨e_j|$；

其中，$O_{ij}=⟨e_i|\hat{O}|e_j⟩$是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

$\hat{O}\stackrel{rep}{=}\left(\begin{array}{cccc}{O}_{11}& O_{12}& \cdots & O_{1n}\\ O_{21}& O_{22}& \cdots & O_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ O_{n1}& O_{n2}& \cdots & O_{nn}\end{array}\right)$ 。

算符$\hat{O}$與它的伴隨算符${\hat{O}}^{†}$彼此之間的關係為

$⟨e_i|\hat{O}|e_j⟩=⟨e_j|{\hat{O}}^{†}|e_i{⟩}^{*}$。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符$\hat{O}$怎樣作用於量子態$|\psi ⟩$，假設系統因此變換為量子態$|\varphi ⟩$：

$|\varphi ⟩=\hat{O}|\psi ⟩$。

從左邊乘以本徵態$⟨e_i|$，應用基底的完備性，添加單位算符$\hat{I}$於算符的右邊，可以得到

$⟨e_i|\varphi ⟩=⟨e_i|\hat{O}|\psi ⟩=\sum _j⟨e_i|\hat{O}|e_j⟩⟨e_j|\psi ⟩=\sum _{ij}{O}_{ij}⟨e_j|\psi ⟩$。

右矢$|\varphi ⟩$、$|\psi ⟩$分別用豎矩陣來代表

$|\varphi ⟩\stackrel{rep}{=}\left(\begin{array}{c}⟨e_1|\varphi ⟩\\ ⟨e_2|\varphi ⟩\\ ⋮\\ ⟨e_n|\varphi ⟩\end{array}\right)$ 、　　　　$|\psi ⟩\stackrel{rep}{=}\left(\begin{array}{c}⟨e_1|\psi ⟩\\ ⟨e_2|\psi ⟩\\ ⋮\\ ⟨e_n|\psi ⟩\end{array}\right)$ 。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

$\left(\begin{array}{c}⟨e_1|\varphi ⟩\\ ⟨e_2|\varphi ⟩\\ ⋮\\ ⟨e_n|\varphi ⟩\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{O}_{11}& O_{12}& \cdots & O_{1n}\\ O_{21}& O_{22}& \cdots & O_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ O_{n1}& O_{n2}& \cdots & O_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⟨e_1|\psi ⟩\\ ⟨e_2|\psi ⟩\\ ⋮\\ ⟨e_n|\psi ⟩\end{array}\right)$ 。

假設算符$\hat{O}$是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值$\lambda$：

$\det (\hat{O}-\lambda \hat{I})=0$。

量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱	直角坐標系分量表示	向量表示
位置算符	$\begin{array}{c}\hat{x}=x\\ \hat{y}=y\\ \hat{z}=z\end{array}$	$\widehat{𝐫}=𝐫$
動量算符	一般狀況 $\begin{array}{cc}{\hat{p}}_x& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\\ {\hat{p}}_y& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}\\ {\hat{p}}_z& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}\end{array}$	一般狀況 $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$
	電磁場 $\begin{array}{c}{\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}-q{A}_x\\ {\hat{p}}_y=-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}-q{A}_y\\ {\hat{p}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}-q{A}_z\end{array}$	電磁場（$𝐀$是磁向量勢） $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }-q𝐀$
動能算符	平移運動 $\begin{array}{cc}{\hat{T}}_x& =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\\ {\hat{T}}_y& =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\\ {\hat{T}}_z& =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\\ \end{array}$	平移運動 $\begin{array}{cc}\hat{T}& ={\hat{T}}_x+{\hat{T}}_y+{\hat{T}}_z\\ & =\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\\ \end{array}$
	電磁場 $\begin{array}{cc}{\hat{T}}_x& =\frac{1}{2m}{(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}-q{A}_x)}^2\\ {\hat{T}}_y& =\frac{1}{2m}{(-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}-q{A}_y)}^2\\ {\hat{T}}_z& =\frac{1}{2m}{(-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}-q{A}_z)}^2\end{array}$	電磁場（$𝐀$是磁向量勢） $\begin{array}{cc}\hat{T}& =\frac{\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}}{2m}\\ & =\frac{1}{2m}(-i\hslash \mathrm{\nabla }-q𝐀)\cdot (-i\hslash \mathrm{\nabla }-q𝐀)\\ & =\frac{1}{2m}(-i\hslash \mathrm{\nabla }-q𝐀{)}^2\end{array}$
	旋轉運動（$I$是轉動慣量） $\begin{array}{cc}{\hat{T}}_{xx}& =\frac{{\hat{J}}_x^2}{2I_{xx}}\\ {\hat{T}}_{yy}& =\frac{{\hat{J}}_y^2}{2I_{yy}}\\ {\hat{T}}_{zz}& =\frac{{\hat{J}}_z^2}{2I_{zz}}\\ \end{array}$	旋轉運動 $\hat{T}=\frac{\widehat{𝐉}\cdot \widehat{𝐉}}{2I}$
勢能算符	N/A	$\hat{V}=V(𝐫,t)$
總能量算符	N/A	含時位勢： $\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ 不含時位勢： $\hat{E}=E$
哈密頓算符	N/A	$\begin{array}{cc}\hat{H}& =\hat{T}+\hat{V}\\ & =\frac{\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}}{2m}+V\\ & =\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V\\ \end{array}$
角動量算符	$\begin{array}{cc}{\hat{L}}_x& =-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})\\ {\hat{L}}_y& =-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})\\ {\hat{L}}_z& =-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})\end{array}$	$\widehat{𝐋}=-i\hslash 𝐫\times \mathrm{\nabla }$
自旋算符	$\begin{array}{c}{\hat{S}}_x=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_x\\ {\hat{S}}_y=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_y\\ {\hat{S}}_z=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_z\end{array}$ 其中， ${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$ ${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ 是自旋1/2粒子的包立矩陣。	$\widehat{𝐒}=\frac{\hslash }{2}\mathit{\sigma }$ 其中，向量$\mathit{\sigma }$的分量是包立矩陣。
總角動量算符	$\begin{array}{cc}{\hat{J}}_x& ={\hat{L}}_x+{\hat{S}}_x\\ {\hat{J}}_y& ={\hat{L}}_y+{\hat{S}}_y\\ {\hat{J}}_z& ={\hat{L}}_z+{\hat{S}}_z\end{array}$	$\begin{array}{cc}\widehat{𝐉}& =\widehat{𝐋}+\widehat{𝐒}\\ & =-i\hslash 𝐫\times \mathrm{\nabla }+\frac{\hslash }{2}\mathit{\sigma }\end{array}$
躍遷矩（電） （transition moment）	$\begin{array}{cc}{\hat{d}}_x& =qx\\ {\hat{d}}_y& =qy\\ {\hat{d}}_z& =qz\end{array}$	$\widehat{𝐝}=q𝐫$

範例

位置算符

Template:Main 只思考一維問題，將位置算符$\hat{x}$施加於位置本徵態$|x⟩$，可以得到本徵值$x$，即粒子的位置：Template:Rp

$\hat{x}|x⟩=x|x⟩$。

由於位置基底具有完整性，$\hat{I}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x⟩⟨x|\mathrm{d}x$，任意量子態$|\psi ⟩$可以按著位置本徵態形成的基底展開：

$|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x⟩⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x$。

將位置算符$\hat{x}$施加於量子態$|\psi ⟩$，由於算符$\hat{x}$只作用於右矢$|x⟩$，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

$\hat{x}|\psi ⟩=\hat{x}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x⟩⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{x}|x⟩⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x|x⟩⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x$。

左矢$⟨\psi |$與這方程式的內積為

$⟨\psi |\hat{x}|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x⟨\psi |x⟩⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x$。

設定量子態$|\alpha ⟩=\hat{x}|\psi ⟩$。由於位置基底具有完整性，$\hat{I}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x⟩⟨x|\mathrm{d}x$，量子態$⟨\psi |$與$|\alpha ⟩$的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

$⟨\psi |\alpha ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}⟨\psi |x⟩⟨x|\alpha ⟩\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}⟨\psi |x⟩⟨x|\hat{x}|\psi ⟩\mathrm{d}x$。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

$⟨x|\hat{x}|\psi ⟩=x⟨x|\psi ⟩$。

設定量子態$|\mathrm{\Psi }⟩=\hat{x}|\psi ⟩$。量子態$|\mathrm{\Psi }⟩$、$|\psi ⟩$的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\mathrm{\Psi }(x)\stackrel{def}{=}⟨x|\mathrm{\Psi }⟩$、

$\psi (x)\stackrel{def}{=}⟨x|\psi ⟩$。

兩個波函數$\mathrm{\Psi }(x)$、$\psi (x)$之間的關係為

$\mathrm{\Psi }(x)=x\psi (x)$。

總結，位置算符$\hat{x}$作用於量子態$|\psi ⟩$的結果$|\mathrm{\Psi }⟩$，表現於位置空間，等價於波函數$\psi (x)$與$x$的乘積$\mathrm{\Psi }(x)$。

動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

$\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$。

將動量算符$\hat{p}$施加於量子態$|\psi ⟩$，可以得到類似前一節得到的結果：

$⟨x|\hat{p}|\psi ⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}⟨x|\psi ⟩$。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態$|\varphi ⟩$，可以得到更廣義的結果：

$\begin{array}{cc}⟨\varphi |\hat{p}|\psi ⟩& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}⟨\varphi |x⟩⟨x|\hat{p}|\psi ⟩\mathrm{d}x\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}⟨\varphi |x⟩(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})⟨x|\psi ⟩\mathrm{d}x\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }^{*}(x)(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})\psi (x)\mathrm{d}x\\ \end{array}$ ；

其中，$\varphi (x)=⟨x|\varphi ⟩$、$\psi (x)=⟨x|\psi ⟩$分別是量子態$|\varphi ⟩$、$|\psi ⟩$表現於位置空間的波函數。

假設$|\psi ⟩$是$\hat{p}$的本徵態，本徵值為$p$，則可得到

$⟨x|\hat{p}|\psi ⟩=p⟨x|\psi ⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}⟨x|\psi ⟩$。

將$|\psi ⟩$改寫為本徵值為$p$的本徵態$|p⟩$，方程式改寫為

$-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}⟨x|p⟩=p⟨x|p⟩$。

這微分方程式的解析解為

$⟨x|p⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ipx/\hslash }$。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。Template:Rp

參閱

• 有界算符
• 表示論
• 算子