平面波

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。

一個平面波的波前行進於空間。

在三維空間裏，平面波（plane wave）是一種波動，其波阵面（在任何時刻，波相位相等的每一點所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的傳播方向垂直於波前。假若平面波的振幅不是常數，例如，振幅是位置的函數，則稱此種平面波為「非均勻平面波」。Template:Rp

加以延伸，平面波這術語時常用來形容，在空間的一個局部區域裏，近似於平面波的波動。例如，一個局部區域波源，像發射無線電波的天線，所發射出的電磁波，在Template:Link-en可以近似為平面波。等價地說，對於在一個均勻介質內，波的傳播距離超長於波長的案例，在幾何光學的正確極限內，射線區域性地對應於近似平面波。

數學表述

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用數學來表述，波動方程式為

${\mathrm{\nabla }}^{2}f-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}=0$ ；

其中，$f(𝐱,t)$ 是描述波動的函數，${\mathrm{\nabla }}^2$ 是拉普拉斯算符，$v$ 是波動傳播的速度，$𝐱$ 是位置，$t$ 是時間。

描述平面波的函數 $\tilde{\psi }(𝐱,t)$ 是波動方程式的一種解答：

${\mathrm{\nabla }}^2\tilde{\psi }-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\tilde{\psi }}{\partial t^2}=0$ 。

平面波 $\tilde{\psi }(𝐱,t)$ 的形式為：

$\tilde{\psi }(𝐱,t)=\tilde{A}{e}^{i(𝐤\cdot 𝐱-\omega t)}$ ；

其中，$i$ 是虛數單位，$𝐤$ 是波向量，$\omega =kv$ 是角頻率，$\tilde{A}$ 是複值的振幅純量。

取複函數的實部，則可以得到其物理意義。

$\mathrm{Re}\{\tilde{\psi }(𝐱,t)\}=|\tilde{A}|\cos (𝐤\cdot 𝐱-\omega t+\arg \tilde{A})$ 。

注意到在任意時刻 $t=t_0$ ，波相位不變的曲面滿足方程式

$𝐤\cdot 𝐱-\omega t_0+\arg \tilde{A}=c_1$ ，

或者，

$𝐤\cdot 𝐱=c_2$ ；

其中，$c_1$ 、$c_2$ 是任意常數。

所有滿足這方程式的 $𝐱$ 形成一個與 $𝐤$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 $𝐤$ 相互垂直，都相互平行。

對於向量的波動方程式，像描述在彈性固體內的機械波或電磁波的波動方程式：

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=0$ ，

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}=0$ ；

其中，$𝐄$ 是電場，$𝐁$ 是磁場;

解答也很類似：

$\tilde{\mathit{\psi }}(𝐱,t)=\widetilde{𝐀}{e}^{i(𝐤\cdot 𝐱-\omega t)}$ ；

其中，$\widetilde{𝐀}$ 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量，像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的聲波。

傳播於某介質內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 $\omega (𝐤)$ 表達，稱為介質的色散關係。對於這介質，波的相速度是

$v_p=\omega /k$ ，

群速度是

$v_g=\frac{\partial \omega }{\partial 𝐤}$ 。

参阅

• 波动方程

參考文獻

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• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。