角動量算符

Template:NoteTA Template:物理算符Template:量子力学 在量子力學裏，角動量算符（Template:Lang-en）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（Template:Lang）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(Template:Lang)行為。

數學定義

在經典力學裏，角動量 $𝐋=(L_x,L_y,L_z)$ 定義為位置 $𝐫=(x,y,z)$ 與動量 $𝐩=(p_x,p_y,p_z)$ 的叉積：

$𝐋\stackrel{def}{=}𝐫\times 𝐩$ 。

在量子力學裏，對應的角動量算符 $\widehat{𝐋}$ 定義為位置算符 $\widehat{𝐫}$ 與動量算符 $\widehat{𝐩}$ 的叉積：

$\widehat{𝐋}\stackrel{def}{=}\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}$ 。

由於動量算符的形式為

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ 。

角動量算符的形式為

$\widehat{𝐋}=-i\hslash (\widehat{𝐫}\times \mathrm{\nabla })$ 。

其中，$\mathrm{\nabla }$ 是梯度算符。

角動量是厄米算符

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 ${\hat{L}}_x$ ：

${\hat{L}}_x=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y$ 。

其伴隨算符 $L_x^{†}$ 為

${\hat{L}}_x^{†}=(\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y{)}^{†}={\hat{p}}_z^{†}{\hat{y}}^{†}-{\hat{p}}_y^{+}{\hat{z}}^{†}$ 。

由於 $\hat{y}$ 、$\hat{z}$ 、${\hat{p}}_y$ 、${\hat{p}}_z$ ，都是厄米算符，

${\hat{L}}_x^{†}={\hat{p}}_z\hat{y}-{\hat{p}}_y\hat{z}$ 。

由於 ${\hat{p}}_z$ 與 $\hat{y}$ 之間、${\hat{p}}_y$ 與 $\hat{z}$ 之間分別相互對易，所以，

${\hat{L}}_x^{†}=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y={\hat{L}}_x$ 。

因此，${\hat{L}}_x$ 是一個厄米算符。類似地，${\hat{L}}_y$ 與 ${\hat{L}}_z$ 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 ${\hat{L}}^2$ 算符，

${\hat{L}}^2={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2$ 。

其伴隨算符 $({\hat{L}}^2{)}^{†}$ 為

$({\hat{L}}^2{)}^{†}=({\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2{)}^{†}=({\hat{L}}_x^2{)}^{†}+({\hat{L}}_y^2{)}^{†}+({\hat{L}}_z^2{)}^{†}$ 。

由於 ${\hat{L}}_x^2$ 算符、${\hat{L}}_y^2$ 算符、${\hat{L}}_z^2$ 算符，都是厄米算符，

$({\hat{L}}^2{)}^{†}={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2={\hat{L}}^2$ 。

所以，${\hat{L}}^2$ 算符是厄米算符。

對易關係

Template:Main 兩個算符 $\hat{A}$ 與 $\hat{B}$ 的交換算符 $[\hat{A},\hat{B}]$ ，表示出它們之間的對易關係。

角動量算符與自己的對易關係

思考 ${\hat{L}}_x$ 與 ${\hat{L}}_y$ 的交換算符，

$\begin{array}{cc}[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]& =[\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{z}{\hat{p}}_x-\hat{x}{\hat{p}}_z]\\ & =[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{z}{\hat{p}}_x]-[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{z}{\hat{p}}_x]-[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{x}{\hat{p}}_z]+[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{x}{\hat{p}}_z]\\ & =i\hslash (\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x)\\ & =i\hslash {\hat{L}}_z\\ \end{array}$ 。

由於兩者的對易關係不等於 0 ， $L_x$ 與 $L_y$ 彼此是不相容可觀察量。${\hat{L}}_x$ 與 ${\hat{L}}_y$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，${\hat{L}}_x$ 的本徵態與 ${\hat{L}}_y$ 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 $|\psi ⟩$ 。對於可觀察量算符 ${\hat{L}}_x$ ，所有本徵值為 ${\ell }_{xi}$ 的本徵態 $|f_i⟩,i=1,2,3,\cdots$ ，形成了一組基底量子態。量子態 $|\psi ⟩$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi ⟩=\sum _i|f_i⟩⟨f_i|\psi ⟩$ 。對於可觀察量算符 ${\hat{L}}_y$ ，所有本徵值為 ${\ell }_{yi}$ 的本徵態 $|g_i⟩,i=1,2,3,\cdots$ ，形成了另外一組基底量子態。量子態 $|\psi ⟩$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi ⟩=\sum _i|g_i⟩⟨g_i|\psi ⟩$ 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 $L_x$ ，得到的測量值為其本徵值 ${\ell }_{xi}$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|f_i⟩$ 。假若，我們立刻再測量可觀察量 $L_x$ ，得到的答案必定是 ${\ell }_{xi}$ ，量子態仍舊處於 $|f_i⟩$ 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 $L_y$ ，則量子態不會停留於本徵態 $|f_i⟩$ ，而會塌縮為 ${\hat{L}}_y$ 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 ${\ell }_{yj}$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|g_j⟩$ 。

根據不確定性原理，

$\mathrm{\Delta }{L}_x\mathrm{\Delta }{L}_y\ge \left|\frac{⟨[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]⟩}{2i}\right|=\frac{\hslash |⟨{\hat{L}}_z⟩|}{2}$ 。

$L_x$ 的不確定性與 $L_y$ 的不確定性的乘積 $\mathrm{\Delta }{L}_x\mathrm{\Delta }{L}_y$ ，必定大於或等於 $\frac{\hslash |⟨L_z⟩|}{2}$ 。

$L_x$ 與 $L_z$ 之間，$L_y$ 與 $L_z$ 之間，也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考 ${\hat{L}}^2$ 與 ${\hat{L}}_z$ 的交換算符，

$\begin{array}{cc}[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_z]& =[{\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2,{\hat{L}}_z]\\ & ={\hat{L}}_x{\hat{L}}_x{\hat{L}}_z-{\hat{L}}_z{\hat{L}}_x{\hat{L}}_x+{\hat{L}}_y{\hat{L}}_y{\hat{L}}_z-{\hat{L}}_z{\hat{L}}_y{\hat{L}}_y\\ & ={\hat{L}}_x({\hat{L}}_z{\hat{L}}_x-i\hslash {\hat{L}}_y)-({\hat{L}}_x{\hat{L}}_z+i\hslash {\hat{L}}_y){\hat{L}}_x+{\hat{L}}_y({\hat{L}}_z{\hat{L}}_y+i\hslash {\hat{L}}_x)-({\hat{L}}_y{\hat{L}}_z-i\hslash {\hat{L}}_x){\hat{L}}_y\\ & =0\\ \end{array}$。

${\hat{L}}^2$ 與 ${\hat{L}}_z$ 是對易的，$L^2$ 與 $L_z$ 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 $L^2$ 與 $L_z$ 的本徵值。

類似地，

$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_x]=0$ 、

$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_y]=0$ 。

${\hat{L}}^2$ 與 ${\hat{L}}_x$ 之間、${\hat{L}}^2$ 與 ${\hat{L}}_y$ 之間，都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

$\{L_i,L_j\}={ϵ}_{ijk}{L}_k$ ；

其中，$\{,\}$ 是帕松括號，${ϵ}_{ijk}$ 是列維-奇維塔符號，$i$ 、$j$ 、$k$ ，代表直角坐標 $(x,y,z)$ 。

本徵值與本徵函數

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

$\begin{array}{cc}\widehat{𝐋}& =\frac{\hslash }{i}\widehat{𝐫}\times \mathrm{\nabla }\\ & =\frac{\hslash }{i}r{𝐞}_r\times ({𝐞}_r\frac{\partial }{\partial r}+{𝐞}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+{𝐞}_{\varphi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })\\ & =\frac{\hslash }{i}(-{𝐞}_{\theta }\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }+{𝐞}_{\varphi }\frac{\partial }{\partial \theta })\\ \end{array}$ ；

其中，${𝐞}_r$ 、${𝐞}_{\theta }$ 、${𝐞}_{\varphi }$ ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，

$\widehat{𝐋}=\frac{\hslash }{i}[{𝐞}_x(-\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })+{𝐞}_y(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })+{𝐞}_z\frac{\partial }{\partial \varphi }]$ 。

其中，${𝐞}_x$ 、${𝐞}_y$ 、${𝐞}_z$ ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，${\hat{L}}_x$ 、${\hat{L}}_y$ 、${\hat{L}}_z$ 分別是

${\hat{L}}_x=\frac{\hslash }{i}(-\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })$ 、

${\hat{L}}_y=\frac{\hslash }{i}(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })$ 、

${\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }$ 。

角動量平方算符是

${\hat{L}}^2={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2$ ；

其中，

$\begin{array}{cc}{\hat{L}}_x^2& =-{\hslash }^2(-\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })(-\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })\\ & =-{\hslash }^2({\sin }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\cot \theta {\cos }^2\varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\partial }^2}{\partial \theta \partial \varphi }-{\csc }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \end{array}$

$+\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\partial }^2}{\partial \theta \partial \varphi }-{\cot }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }+{\cot }^2\theta {\cos }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})$、

$\begin{array}{cc}{\hat{L}}_y^2& =-{\hslash }^2(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })\\ & =-{\hslash }^2({\cos }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\cot \theta {\sin }^2\varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\partial }^2}{\partial \theta \partial \varphi }+{\csc }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \end{array}$

$-\cot \theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{{\partial }^2}{\partial \theta \partial \varphi }+{\cot }^2\theta \sin \varphi \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }+{\cot }^2\theta {\sin }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})$ 、

${\hat{L}}_z^2=-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}$ 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式Template:Rp

${\hat{L}}^2=-{\hslash }^2(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+(1+{\cot }^2\theta )\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})=-{\hslash }^2(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})$ 。

滿足算符 ${\hat{L}}^2$ 的本徵函數是球諧函數 $Y_{\ell m}$ ：

${\hat{L}}^2{Y}_{\ell m}=\ell (\ell +1){\hslash }^2{Y}_{\ell m}$ ；

其中，本徵值 $\ell$ 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 ${\hat{L}}_z$ 微分方程式的本徵函數：

${\hat{L}}_z{Y}_{\ell m}=m\hslash Y_{\ell m}$ ；

其中，本徵值 $m$ 是整數，$-\ell \le m\le 0$ 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 $Y_{\ell m}$ 表達為

$Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )=(i{)}^{m+|m|}\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell m}(\cos \theta )e^{im\varphi }$ ；

其中，$i$ 是虛數單位，$P_{\ell m}(\cos \theta )$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

$P_{\ell m}(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d{x}^{|m|}}{P}_{\ell }(x)$ ；

而 $P_{\ell }(x)$ 是 $\ell$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}(x^2-1{)}^{\ell }$ 。

球諧函數滿足正交歸一性：

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{Y}_{{\ell }_1{m}_1}{Y}_{{\ell }_2{m}_2}\sin (\theta )d\theta d\varphi ={\delta }_{{\ell }_1{\ell }_2}{\delta }_{m_1{m}_2}$ 。

這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 $\psi (\theta ,\varphi )$ 都可以表達為這單範正交基的線性組合：

$\psi (\theta ,\varphi )=\sum _{\ell ,m}{A}_{\ell m}{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )$ ；

其中，$A_{\ell m}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{Y}_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\psi (\theta ,\varphi )\sin (\theta )d\theta d\varphi$ 。

參閱

• 氫原子
• 球對稱位勢
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：角動量加法