特徵多項式

Template:Not Template:Expand english Template:Unreferenced 在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義

設 $𝔽$ 為域（例如實數或複數域），對佈於 $𝔽$ 上的 $n\times n$ 矩陣 $A$，定義其特徵多項式為

$p_A(t):=\det (t{I}_n-A)\in 𝔽[t]$

這是一個 $n$ 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質

當 $A$ 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，$p_A(t)=\prod _{i=1}^n(t-{\lambda }_i)$，其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 $p_A(t)=t^2-\mathrm{t}\mathrm{r}(A)t+\det (A)$。一般而言，若 $p_A(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\dots +a_0$，則 $a_0=(-1{)}^n\det (A)$，$a_{n-1}=-\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$。

此外：

• 特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 $C$ 使得 $B=C^{-1}AC$，則 $p_A(t)=p_B(t)$。
• 對任意兩方陣 $A,B$，有 $p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$。一般而言，若 $A$ 為 $m\times n$ 矩陣，$B$ 為 $n\times m$ 矩陣（設 $m<n$），則 $p_{AB}(t)=t^{m-n}{p}_{BA}(t)$
• 凱萊-哈密頓定理：$p_A(A)=0$。