动能

車子在斜坡上的位置不同，其動能與势能（位能）亦不相同。

动能 （Template:Lang-en）是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m²·s^-2）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

经典力学

在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

其中$E_k$代表动能，$m$代表质量，$v$代表速率。

而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上。

一个物体的动能与動量的关系为：

$E_k=\frac{p^2}{2m}$

其中$E_k$代表动能，$p$代表动量的数值及$m$代表质量。

推导与定义

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

$W=\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$

其中$W$代表功，$\overrightarrow{F}$代表物体所受到的总共的作用力，$\overrightarrow{s}$代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

其中$\overrightarrow{F}$代表力，$\overrightarrow{p}$代表动量，$t$代表时间。

动量、速度与质量的关系为：

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

其中$\overrightarrow{p}$代表动量，$m$代表质量，$\overrightarrow{v}$代表速率。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

$W=\int \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}\cdot d\overrightarrow{s}=\int m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\cdot d\overrightarrow{s}=\int m\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\int md(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v})=\frac{1}{2}m{v}^2+C_0$

其中$W$代表功，$\overrightarrow{p}$代表动量，$t$代表时间，$\overrightarrow{v}$代表速度，$v$代表速率，$m$代表质量，$C_0$代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

其中$E_k$代表动能，$m$代表质量及$v$代表速率。

自转的物体

如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

$E_r=\frac{1}{2}\int v^{2}dm=\frac{1}{2}\int r^2{\omega }^{2}dm=\frac{1}{2}{\omega }^2\int r^{2}dm=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

其中$E_r$代表自转动能，$v$代表速率，$\omega$代表角速度，$m$代表质量及$r$代表质点到旋转轴间的距离。

相对论

在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用$m$表示静止质量，$𝐯$和$v$分别表示物体的速度和速率， 而$c$表示真空中的光速，我们假设线性动量$𝐩=m\gamma 𝐯$， 其中$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$

分部积分得到

$E_{\text{k}}=\int 𝐯\cdot d𝐩=\int 𝐯\cdot d(m\gamma 𝐯)=m\gamma 𝐯\cdot 𝐯-\int m\gamma 𝐯\cdot d𝐯=m\gamma v^2-\frac{m}{2}\int \gamma d(v^2)$

回忆$\gamma =(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$，我们得到：

$\begin{array}{cc}{E}_{\text{k}}& =m\gamma v^2-\frac{-m{c}^2}{2}\int \gamma d(1-v^2/c^2)\\ & =m\gamma v^2+m{c}^2(1-v^2/c^2{)}^{1/2}-E_0\end{array}$

其中$E_0$作为积分常数。 于是:

$\begin{array}{cc}{E}_{\text{k}}& =m\gamma (v^2+c^2(1-v^2/c^2))-E_0\\ & =m\gamma (v^2+c^2-v^2)-E_0\\ & =m\gamma c^2-E_0\end{array}$

通过观察$𝐯=0,\gamma =1$ 且 $E_{\text{k}}=0$，得到积分常数$E_0$应为

$E_0=m{c}^2$

并给出通常的公式

$E_{\text{k}}=m\gamma c^2-m{c}^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m{c}^2$

極限

$\underset{v\to c}{\lim }{E}_{\text{k}}=\mathrm{\infty }$

當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式：

$\begin{array}{cc}{E}_{\text{k}}& =\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}-m{c}^2\\ & =m{c}^2(1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2+\frac{3}{8}{v}^4/c^4+\cdots )-m{c}^2\\ & =m{c}^2+\frac{m{v}^2}{2}+\frac{3}{8}m{v}^4/c^2+\cdots -m{c}^2\\ & \approx \frac{1}{2}m{v}^2\end{array}$

低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

參見

• 势能（又称“-{位能}-”）
• 机械能
• 能量
• 相对论
• 牛顿运动定律