態向量

Template:NoteTA 在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範數是1，是一個單位向量。標記量子態$\psi$的態向量為$|\psi ⟩$。

每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：

$|\psi ⟩=c_1|e_1⟩+c_2|e_2⟩+\dots +c_n|e_n⟩$；

其中，$|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_n⟩$是單範正交基的基向量，$n$是單範正交基的基數，$c_1,c_2,\dots ,c_n$是複值的係數，是$|\psi ⟩$的分量，$c_i$是$|\psi ⟩$投射於基向量$|e_i⟩$的分量，也是$|\psi ⟩$處於$|e_i⟩$的機率幅。

換一種方法表達：

$|\psi ⟩=(c_1,c_2,\dots ,c_n{)}^T=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$。

在狄拉克標記方法裏，態向量$|\psi ⟩$稱為右矢。對應的左矢為$⟨\psi |$，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為

$⟨\psi |=|\psi {⟩}^{†}=(c_1^{*},c_2^{*},\dots ,c_n^{*})$；

其中，$†$象徵為取厄米共軛。

設定兩個態向量$|\alpha ⟩=(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$，$|\beta ⟩=(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$。定義$|\alpha ⟩$內積$|\beta ⟩$為

$⟨\alpha |\beta ⟩=\sum _i{a}_i^{*}{b}_i$。

這內積的結果是一個複數。

性質

1）共軛複數

$|\beta ⟩$內積$|\alpha ⟩$是$|\alpha ⟩$內積$|\beta ⟩$的共軛複數：

$⟨\beta |\alpha ⟩=⟨\alpha |\beta {⟩}^{*}$。

2）歸一性

定義$|\alpha ⟩$內積$|\alpha ⟩$的平方根為$|\alpha ⟩$的範數，標記為$|\alpha |$。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：

$|\alpha |=\sqrt{⟨\alpha |\alpha ⟩}=1$。

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式闡明：

$⟨\alpha |\beta {⟩}^2\le ⟨\alpha |\alpha ⟩⟨\beta |\beta ⟩$。