正定矩阵

Template:NoteTA Template:No footnotes Template:ScienceNavigation 在线性代数裡，正定矩阵（Template:Lang-en）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

定义

一个 $n\times n$ 的实对称矩阵 $M$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 $𝐳$，都有 ${𝐳}^{T}M𝐳>0$。其中 ${𝐳}^T$表示 $𝐳$ 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 $𝐳$，都有 ${𝐳}^{*}M𝐳>0$。其中 ${𝐳}^{*}$表示 $𝐳$ 的共轭转置。

這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 $M$ 及複向量 $𝐳$ ，${𝐳}^{*}M𝐳$ 必定是实数。

首先，因為 $M$ 是埃爾米特矩陣，所以我們有 $M^{*}=M$。接下來我們計算所求的共轭转置：$({𝐳}^{*}M𝐳{)}^{*}={𝐳}^{*}{M}^{*}({𝐳}^{*}{)}^{*}={𝐳}^{*}M𝐳$。因為 ${𝐳}^{*}M𝐳$ 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 ${𝐳}^{*}M𝐳$ 是實數。

正定矩陣

对於 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$，下列性质与「$M$ 为正定矩阵」等价：

1. $M$ 的所有的特征值 ${\lambda }_i$ 都是正的。
   根据谱定理，$M$ 与一个实对角矩阵 $D$ 相似（也就是说 $M=U^{-1}DU$，其中 $U$ 是酉矩阵，或者说 $M$ 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，$M$是正定阵当且仅当相应的 $D$ 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假設 ${\lambda }_i$ 和 ${𝐯}_i$ 是 $M$ 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 $M{𝐯}_i={\lambda }_i{𝐯}_i$，從左側同乘以 ${𝐯}_i^{*}$ 得到：${𝐯}_i^{*}M{𝐯}_i={\lambda }_i{𝐯}_i^{*}{𝐯}_i={\lambda }_i\Vert {𝐯}_i{\Vert }^2$。因為 $M$ 是正定矩陣，根據定義我們有 ${𝐯}_i^{*}M𝐯>0$。移項整理後可以得到 ${\lambda }_i=\frac{{𝐯}^{*}M𝐯}{\Vert {𝐯}_i{\Vert }^2}>0$。注意因為特徵向量 ${𝐯}_i\ne \mathrm{𝟎}$，所以前述 ${\lambda }_i$ 不會有無解的情形。
2. 半双线性形式 $⟨\mathbf{\text{x}},\mathbf{\text{y}}⟩={\mathbf{\text{x}}}^{*}M\mathbf{\text{y}}$ 定义了一个 ${ℂ}^n$上的内积。实际上，所有 ${ℂ}^n$上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
3. $M$ 是向量 ${\mathbf{\text{x}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_n\in {ℂ}^k$ 構成的格拉姆矩阵，其中 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$。更精确地说，$M=[m_{ij}]$ 定义为：$m_{ij}=⟨{\mathbf{\text{x}}}_i,{\mathbf{\text{x}}}_j⟩={\mathbf{\text{x}}}_i^{*}{\mathbf{\text{x}}}_j$。换句话说，$M$ 具有 $A^{*}A$ 的形式，其中 $A$ 不一定是方阵，但必須是单射的。
4. $M$ 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（Template:Le）。明确地说，就是考察 $M$ 左上角大小 $1\times 1,\dots ,n\times n$ 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： $$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$
5. 存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得 $M=L{L}^{*}$。其中 $L^{*}$是 $L$ 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 ${ℂ}^n$改为 ${ℝ}^n$，並将「共轭转置」改为「转置」即可。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 $𝕂$ 代表 $ℂ$ 或 $ℝ$，设 $𝕍$ 是 $𝕂$ 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

$B:V\times V\to K$

是一个双线性映射，使得 $B(𝐱,𝐲)$ 总是 $B(𝐲,𝐱)$ 的共轭。这样的一个映射 $B$ 是正定的若且唯若對於 $𝕍$ 中所有的非零向量 $𝐱$，都有 $B(𝐱,𝐱)>0$。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵对应，一个 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵（Template:Lang-en）若且唯若对所有非零向量 $𝐳\in {ℝ}^n$（或 $𝐳\in {ℂ}^n$），都有 $z^{*}Mz<0$。

$M$是半正定矩阵（Template:Lang-en）若且唯若對於所有非零向量 $𝐳\in {ℝ}^n$（或 $𝐳\in {ℂ}^n$），都有 $z^{*}Mz\ge 0$。

$M$是半负定矩阵（Template:Lang-en）若且唯若對於所有非零向量 $𝐳\in {ℝ}^n$（或 $𝐳\in {ℂ}^n$），都有 $z^{*}Mz\le 0$。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（Template:Lang-en）。

可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 $M$ 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 $A$，$A^{*}A$必是半正定的，并有 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A^{*}A)$（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 $M=A^{*}A$，这就是科列斯基分解。

对於任意矩阵 $A$，因為 $(A^{*}A{)}^{*}=A^{*}(A^{*}{)}^{*}=A^{*}A$ ，因此 $A^{*}A$ 是埃爾米特矩陣。令 $𝐯\in {ℂ}^n$，則 ${𝐯}^{*}(A^{*}A)𝐯=({𝐯}^{*}{A}^{*})(A𝐯)=(A𝐯{)}^{*}(A𝐯)=\Vert A𝐯{\Vert }^2\ge 0$，因此 $A^{*}A$ 是半正定的。另外，我們很容易證明 $A$ 與 $A^{*}A$ 有相同的零空間，根據秩 – 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。

一个埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵若且唯若 $M$ 的所有奇数阶顺序主子式小于 $0$，所有偶数阶顺序主子式大于 $0$。当 $M$ 是负定矩阵时，$M$ 的逆矩阵也是负定的。

相关性质

若 $M$ 为半正定矩阵，可以記作 $M\ge 0$。如果$M$是正定矩阵，可以記作 $M>0$。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，$M$、$N$，$M\ge N$ 若且唯若 $M-N\ge 0$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义$M>N$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 $M\ge N>0$ 那么 $N^{-1}\ge M^{-1}>0$。
2.	如果 $M$ 是正定阵，$r>0$ 为正实数，那么 $rM$ 也是正定阵。 如果 $M$、$N$ 是正定阵，那么 $M+N$、$MNM$ 与 $NMN$ 都是正定的。如果 $MN=NM$，那么 $MN$ 仍是正定阵。
3.	如果 $M=(m_{ij})>0$ 那么主对角线上的元素 $m_{ii}$ 为正实数。于是有 $\text{tr}(M)>0$。此外还有 $|m_{ij}|\le \sqrt{m_{ii}{m}_{jj}}\le \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ 。
4.	矩阵 $M$ 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 $B>0$ 使得 $B^2=M$。根据其唯一性可以记作 $B=M^{1/2}$，称 $B$ 为 $M$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 $M>N>0$ 那么 $M^{1/2}>N^{1/2}>0$ 。
5.	如果 $M,N>0$ 那么 $M\otimes N>0$，其中 $\otimes$ 表示克羅內克積。
6.	对矩阵 $M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 $M\circ N$，即 $(M\circ N{)}_{i,j}=m_{ij}{n}_{ij}$，称为$M$与$N$的 阿达马乘积。如果 $M,N>0$，那么 $M\circ N>0$。如果 $M,N$ 为实係数矩阵，则以下不等式成立： $\det (M\circ N)\ge (\det N)\prod _i{m}_{ii}$ 。
7.	设 $M>0$，$N$ 为埃尔米特矩阵。如果 $MN+NM\ge 0$（相應地，$MN+NM>0$），那么 $N\ge 0$（相應地，$N>0$）。
8.	如果 $M,N\ge 0$ 为实系数矩阵，则 $\text{tr}(MN)\ge 0$。
9.	如果 $M>0$ 为实系数矩阵，那么存在 $\delta >0$ 使得 $M\ge \delta I$，其中 $I$ 为单位矩阵。

非埃尔米特矩阵的情况

一个实矩阵 $M$ 可能满足對於所有的非零实向量 $𝐱$，${𝐱}^{T}M𝐱>0$，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$就满足这个条件。对於 $𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ 并且 $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$，$\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=x_1^2+x_2^2>0$。

一般来说，一个实系数矩阵 $M$ 满足对所有非零实向量 $𝐱$，${𝐱}^{T}M𝐱>0$，若且唯若对称矩阵 $(M+M^T)/2$ 是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 ${𝐳}^{*}M𝐳>0$ 这一性质。要使得 ${𝐳}^{*}M𝐳$ 总为实数，矩阵 $M$ 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 ${𝐳}^{*}M𝐳$ 总是正实数，$M$ 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 ${𝐳}^{*}M𝐳>0$ 扩展为 $\mathrm{\Re }({𝐳}^{*}M𝐳)>0$，则等价于 $(M+M^{*})/2$ 为正定矩阵。

参见

• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• Template:Le
• 正定函数
• 科列斯基分解
• 线性矩阵不等式
• 合同矩阵

参考资料

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部链接

• 正定矩阵
• 关于对称矩阵的一些讨论