正定函數

Template:About 在數學上，複值域函數的正定函數是和正定矩陣有關的特質。

令$ℝ$是實數集合，$ℂ$為複數集合。

函數$f:ℝ\to ℂ$稱為半正定，若針對所有實數x₁, …, x_n， n × n 矩陣

$A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j=1}^n,a_{ij}=f(x_i-x_j)$

都是半正定矩陣Template:Citation needed。

依照定義，半正定矩陣（像是$A$）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。

若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為正定函數、半負定函數及負定函數。

舉例

若$(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$是實内积空间，則$g_y:X\to ℂ$, $x\mapsto \exp (i⟨y,x⟩)$對於每一個$y\in X$是正定：針對所有$u\in {ℂ}^n$，以及所有$x_1,\dots ,x_n$，可得

$u^{*}{A}^{(g_y)}u=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_j{e}^{i⟨y,x_k-x_j⟩}=\sum _{k=1}^n\overline{u_k}{e}^{i⟨y,x_k⟩}\sum _{j=1}^n{u}_j{e}^{-i⟨y,x_j⟩}={\left|\sum _{j=1}^n\overline{u_j}{e}^{i⟨y,x_j⟩}\right|}^2\ge 0.$

正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是余弦函數是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：

$\cos (x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})=\frac{1}{2}(g_1+g_{-1}).$

若有正定函數$f:ℝ\to ℂ$，以及向量空间$X$，可以建立正定函數$f:X\to ℂ$：選擇Template:Link-en $\varphi :X\to ℝ$，並且定義$f^{*}:=f\circ \varphi$. 則

$u^{*}{A}^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_j{f}^{*}(x_k-x_j)=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_{j}f(\varphi (x_k)-\varphi (x_j))=u^{*}{\tilde{A}}^{(f)}u\ge 0,$

其中${\tilde{A}}^{(f)}=(f(\varphi (x_i)-\varphi (x_j))=f({\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j){)}_{i,j}$，而在$\varphi$線性時，每一個${\tilde{x}}_k:=\varphi (x_k)$都是不同的。

Bochner定理

正定函數也出現在傅里叶变换的理論中，可以看出一個函數f正定就是可以成為在函數g（且g(y) ≥ 0）在實數線上傅里叶变换的充份條件。

反過來的結果就是Template:Link-en，提到在實數線上的连续正定函數是正测度的傅里叶变换。

應用

在统计学（特別是贝叶斯统计）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在$R^d$裡選幾個點，針對其純量值進行n個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（Template:Nowrap矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數f），則函數f一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣A是正定的。

在此context下，一般不會用傅里叶变换，而是稱f(x)是對稱機率密度函數（PDF）的特征函数。

擴展

可以在局部緊阿貝爾拓樸群定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在希尔伯特空间上群的表示论裡（也就是Template:Le的理論）。

参见

• 正定 (消歧義)#數學
• Template:Link-en

參考

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.