矩阵的平方根

在数学中，矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广。对一个矩阵A，如果矩阵B满足

$B\cdot B=A$

那么矩阵B就是A的一个平方根。

计算

与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义，只有方块矩阵才有平方根。

对角化算法

如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域$ℂ$的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵：

$\mathrm{\exists }P,A=PD{P}^{-1}$

其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D的形式是：

$D=\left[\begin{array}{ccccc}{d}_1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& 0& \ddots & 0& ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1}& 0\\ 0& \cdots & 0& 0& d_n\end{array}\right]$

那么矩阵A的平方根就是：

$A^{\frac{1}{2}}=P{D}^{\frac{1}{2}}{P}^{-1}$

其中的$D^{\frac{1}{2}}$是：

$D^{\frac{1}{2}}=\left[\begin{array}{ccccc}\sqrt{d_1}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \sqrt{d_2}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& 0& \ddots & 0& ⋮\\ 0& \cdots & 0& \sqrt{d_{n-1}}& 0\\ 0& \cdots & 0& 0& \sqrt{d_n}\end{array}\right]$

丹曼-毕福斯迭代算法

另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个$n\times n$矩阵A的平方根时，先设矩阵$Y_0=A$，$Z_0=I_n$（$I_n$是$n\times n$的单位矩阵）。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列${\left(Y_k\right)}_{k⩾0}$和${\left(Z_k\right)}_{k⩾0}$：

$Y_{k+1}=\frac{Y_k+Z_k^{-1}}{2}$

$Z_{k+1}=\frac{Z_k+Y_k^{-1}}{2}$

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵$Y$和$Z$上。其中$Y$将会是矩阵的平方根，而$Z$将是$Y$的逆矩阵。

参见

• 平方根分解
• 置换矩阵
• 正定矩阵

参考来源

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