克罗内克积

Template:NoteTA Template:ScienceNavigation 数学上，克罗内克积（Template:Lang-en）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。

尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。

定义

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积$A\otimes B$则是一个 mp × nq 的分块矩阵

$A\otimes B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right].$

更具体地可表示为

$A\otimes B=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

我们可以更紧凑地写为 $(A\otimes B{)}_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}{b}_{vw}$

例子

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$.

特性

双线性和结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\text{(if }B\text{ and }C\text{ have the same size)},$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\text{(if }A\text{ and }B\text{ have the same size)},$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。

A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得

$A\otimes B=P(B\otimes A)Q.$

如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = Q^T。

混合乘积性质

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

$(𝐀\otimes 𝐁)(𝐂\otimes 𝐃)=𝐀𝐂\otimes 𝐁𝐃.$

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A $\otimes$ B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

$(𝐀\otimes 𝐁{)}^{-1}={𝐀}^{-1}\otimes {𝐁}^{-1}.$

克罗内克和

如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，${𝐈}_k$表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和$\oplus$为：

$𝐀\oplus 𝐁=𝐀\otimes {𝐈}_m+{𝐈}_n\otimes 𝐁.$

谱

假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ₁，……，λ_n为A的特征值，μ₁，……，μ_q为B的特征值。那么A $\otimes$ B的特征值为：

${\lambda }_i{\mu }_j,i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,q.$

于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

$\mathrm{tr}(𝐀\otimes 𝐁)=\mathrm{tr}𝐀\mathrm{tr}𝐁\text{and}\det (𝐀\otimes 𝐁)=(\det 𝐀{)}^q(\det 𝐁{)}^n.$

奇异值

如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有r_A个非零的奇异值，它们是：

${\sigma }_{𝐀,i},i=1,\dots ,r_{𝐀}.$

类似地，设B的非零奇异值为：

${\sigma }_{𝐁,i},i=1,\dots ,r_{𝐁}.$

那么克罗内克积A $\otimes$ B有r_Ar_B个非零奇异值，它们是：

${\sigma }_{𝐀,i}{\sigma }_{𝐁,j},i=1,\dots ,r_{𝐀},j=1,\dots ,r_{𝐁}.$

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

$\mathrm{rank}(𝐀\otimes 𝐁)=\mathrm{rank}𝐀\mathrm{rank}𝐁.$

与抽象张量积的关系

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v₁, ... , v_m}、 {w₁, ... , w_n}、{x₁, ... , x_d}和{y₁, ... , y_e}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v₁ ⊗ w₁, v₁ ⊗ w₂, ... , v₂ ⊗ w₁, ... , v_m ⊗ w_n}和X ⊗ Y的类似基。

与图的乘积的关系

两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见第96个练习的答案。

转置

克罗内克积转置运算符合分配律：

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T.$

矩阵方程

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB = C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

$(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(AXB)=\mathrm{vec}(C).$

这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB = C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。Template:Harv.

在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

如果把X的行堆起来，形成列向量x，则$AXB$也可以写为$(A\otimes B^T)x$ Template:Harv。

參考文獻

• Template:Citation.

• Template:Citation.

外部链接

• Template:Planetmath reference
• MathWorld Matrix Direct Product Template:Wayback