格拉姆矩阵

线性代数中，内积空间中一組向量 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 的格拉姆矩阵（Template:Lang）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 $G_{i j} = ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩$ 给出。

格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当其格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家Template:Le命名。

例子

最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L² 空间中函数，比如闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数（是 L²（[a, b]）的子集）。

给定区间 $[t_{0}, t_{f}]$ 上的实数值函数 ${ℓ_{i} (\cdot), i = 1, \dots, n}$ ，格拉姆矩阵 $G = [G_{i j}]$ ，由函数的标准内积给出：

G_{i j} = \int_{t_{0}}^{t_{f}} ℓ_{i} (τ) ℓ_{j} (τ) d τ .

给定一个实矩阵 $A$ ，矩阵 $A^{⊤} A$ 是 $A$ 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 $A A^{⊤}$ 是 $A$ 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 定义一个格拉姆矩阵 G 为 $G_{i, j} = B (v_{i}, v_{j})$ 。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是Template:Le）。

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 P^TGP。

格拉姆行列式（Template:Lang）是格拉姆矩阵的行列式：

G (x_{1}, \dots, x_{n}) = | \begin{matrix} ⟨ x_{1}, x_{1} ⟩ & ⟨ x_{1}, x_{2} ⟩ & \dots & ⟨ x_{1}, x_{n} ⟩ \\ ⟨ x_{2}, x_{1} ⟩ & ⟨ x_{2}, x_{2} ⟩ & \dots & ⟨ x_{2}, x_{n} ⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⟨ x_{n}, x_{1} ⟩ & ⟨ x_{n}, x_{2} ⟩ & \dots & ⟨ x_{n}, x_{n} ⟩ \end{matrix} | .

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。