卡西米爾不變量

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J ², 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。

定義

最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

二次卡西米爾元

設 $𝔤$ 為一個 $n$ 維半單李代數。設 B 為 $𝔤$ 上非奇異的二次型，並要求 B 在 $𝔤$ 的伴隨作用下不變，即對 $𝔤$ 中的任意 X,Y,Z, 都有 $B(a{d}_{X}Y,Z)+B(Y,a{d}_{X}Z)=0.$ （例如，可取 B 為基灵型。） 設

$\{X_i{\}}_{i=1}^n$

為 $𝔤$ 的基，以及

$\{X^i{\}}_{i=1}^n$

為 $𝔤$ 關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 $\mathrm{\Omega }$ 是泛包絡代數 $U(𝔤)$ 的元素

$\mathrm{\Omega }=\sum _{i=1}^n{X}_i{X}^i.$

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 $𝔤$ 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 $U(𝔤)$ 的中心的元素。

線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定 $𝔤$ 在向量空間 V 上的Template:Link-en ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

$\rho (\mathrm{\Omega })=\sum _{i=1}^n\rho (X_i)\rho (X^i).$

此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B.

該構造的特定形式，在微分幾何和Template:Link-en中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 $𝔤$ 作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. $𝔤$ 的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。

更進一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 G_x 不可約地作用在切空間 T_xM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於Template:Link-en研究伪微分算子時用到。

一般情況

每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的Template:Link-en ${\text{ad}}_{𝔤}.$ 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

$C_{(m)}={\kappa }^{ij\cdots k}{X}_i\otimes X_j\otimes \cdots \otimes X_k,$

其中 Template:Math 是對稱張量 ${\kappa }^{ij\cdots k}$ 的階，且 $X_i$ 組成 $𝔤$ 的基。域 Template:Math上的多项式环 $K[t_i,t_j,\cdots ,t_k]$ 內，有 Template:Math 元對稱齊次多項式

$c_{(m)}={\kappa }^{ij\cdots k}{t}_i{t}_j\cdots t_k$

與該卡西米爾算子對應。Template:Link-en給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 $X_i$, 都滿足

$[C_{(m)},X_i]=0$.

考慮结构常数 f_ij^k，其滿足

$[X_i,X_j]=f_{ij}^k{X}_k.$

於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

$f_{ij}^k{\kappa }^{jl\cdots m}+f_{ij}^l{\kappa }^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^m{\kappa }^{kl\cdots j}=0.$

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，Template:Link-en能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 Template:Math 即其嘉当子代数的維數為 Template:Math 則其恰有 Template:Math 個卡西米爾元。

性質

唯一性

一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

與 G 上拉普拉斯算子的關係

若 $G$ 為李群，且其李代數為 $𝔤$, 則 $𝔤$ 上的不變二次型對應 $G$ 上的雙不變黎曼度量。並且， $𝔤$ 的泛包絡代數等同於 $G$ 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，$𝔤$ 上雙線性型的卡西米爾元，對應 $G$ 關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何Template:Link-en中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。

例：$𝔰𝔬(3)$

考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 $𝔰𝔬(3)$ 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 $L_x,L_y,L_z$ 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$

給出。 考慮 $𝔰𝔬(3)$ 的一個不可約表示。記其中 $L_z$ 的最大特徵值為 $\ell$, 則 $\ell$ 的可能取值為 $0,1/2,1,3/2,\dots .$ 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell (\ell +1)I.$

在量子力学中，常數 $\ell$ 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，$\ell$ 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（Template:Lang-en)，否則稱為费米子表示（Template:Lang-en)。

給定 $\ell$, 得到的矩陣表示是 $(2\ell +1)$ 維的。例如 $𝔰𝔬(3)$ 的三維表示對應於 $\ell =1$, 由下列的生成元給出：

$L_x=i\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right);L_y=i\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right);L_z=i\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

其中照物理學常用的約定加入了 $i$ 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=2\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

當 $\ell =1$時，$\ell (\ell +1)=2$, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

特徵值

由於卡西米爾元 $\mathrm{\Omega }$ 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 $⟨,⟩$ 為 $\mathrm{\Omega }$ 定義採用的對稱非退化二次型。記 $L(\lambda )$ 為具有最高權 $\lambda$ 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 $\mathrm{\Omega }$ 在 $L(\lambda )$ 的作用為乘常數

$⟨\lambda ,\lambda +2\rho ⟩=⟨\lambda +\rho ,\lambda +\rho ⟩-⟨\rho ,\rho ⟩,$

其中 $\rho$ 為所有正根之和之半。

若 $L(\lambda )$ 非平凡（即 $\lambda \ne 0$), 則上述常數非零。原因是，由於 $\lambda$ 是優控的（Template:Lang-en, 即與任意正根的內積皆非負），若 $\lambda \ne 0$，則 $⟨\lambda ,\lambda ⟩>0$, 且 $⟨\lambda ,\rho ⟩\ge 0$, 故 $⟨\lambda ,\lambda +2\rho ⟩>0$. 此結果適用於Template:Link-en的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的Template:Link-en證明該常數非零。

參見

• Template:Link-en
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參考文獻

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延伸閱讀

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