泛包絡代數

在數學中，我們可以構造任意李代數 $L$ 的泛包絡代數 $U (L)$ 。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質

以下固定域 $K$ 。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 $K$ -結合代數 $U$ ，定義括積 $[a, b] : = a b - b a$ ，可視 $U$ 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 $U (L)$ 及一個指定的李代數同態 $i : L \to U (L)$ 。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 $K$ -結合代數 $A$ ，若存在李代數同態

h : L \to A

。

則存在唯一的代數同態

g : U (L) \to A

使之滿足

g \circ i = h

換言之，函子 $L \mapsto U (L)$ 滿足下述關係：

{H o m}_{Alg.} (U (L), A) \tilde{\to} {H o m}_{Lie alg.} (L, A)

g \mapsto g \circ i

藉此，可視 $U (-)$ 為 $U$ （單位結合代數） $\mapsto U$ （李代數）的左伴隨函子。

首先考慮張量代數 $T (L)$ ，此時有自然的包含映射 $i_{0} : L \to T (L)$ 。取 $I \subset T (L)$ 為下列元素生成的雙邊理想

a \otimes b - b \otimes a - [a, b] (a, b \in L)

定義

U (L) : = T (L) / I

所求的映射 $i : L \to U (L)$ 為 $i_{0} : L \to T (L)$ 與商映射的合成。容易驗證 $i$ 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

若 $L$ 可交換，則 $U (L)$ 亦然；此時 $U (L)$ 同構於多項式代數。
若 $L$ 來自李群 $G$ ，則 $U (L)$ 可理解為 $G$ 上的左不變微分算子。
$U (L)$ 的中心 $Z (U (L))$ 顯然包含 $i (Z (L))$ ，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

Template:Main 庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 $L$ 的基 $X_{1}, \dots, X_{n}$ ，此定理斷言

X_{1}^{e_{1}} \dots X_{n}^{e_{n}} (e_{1}, \dots, e_{n} \in ℤ_{\geq 0})

是 $U (L)$ 的基。此定理的直接推論是： $i : L \to U (L)$ 為單射。

在泛性質中取 $A = E n d (V)$ ，其中 $V$ 為任意向量空間，遂可等同 $L$ 的表示與 $U (L)$ 的表示，後者不外是 $U (L)$ -模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6