结构常数

Template:Unreferenced 群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

定义

给定$r$维李群$G$上的$r$个线性无关的右不变向量场$X_i(1\le i\le r)$，它们构成了$G$的李代数的一组基底。设

$[X_i,X_j]=C_{ij}^k{X}_k$，

其中$[,]$表示李括号。可以证明$C_{ij}^k$是一组常数，它们称为李群$G$的结构常数。

性质

李群$G$的结构常数满足反对称性

$C_{ij}^k=-C_{ji}^k$，

以及Jacobi恒等式

$C_{ij}^k{C}_{lm}^i+C_{il}^k{C}_{mj}^i+C_{im}^k{C}_{jl}^i=0$。

反过来，如果有一组常数$C_{ij}^k,1\le i,j,k\le r$满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。