度量张量

Template:NoteTA 度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

内容

當选定一個局部坐標系統$x^i$，度量張量為二階張量一般表示為 $\mathrm{d}{s}^2=\sum _{ij}{g}_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$，也可以用矩陣 $(g_{ij})$ 表示，記作為G或g。而 $g_{ij}$ 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

$a$ 到 $b$ 的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\sum _{ij}{g}_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t$

兩個切向量的夾角 $\theta$,設向量 $U=\sum _i{u}^i\frac{\partial }{\partial x_i}$ 和 $V=\sum _i{v}^i\frac{\partial }{\partial x_i}$，定義為：

$\cos \theta =\frac{⟨u,v⟩}{|u||v|}=\frac{\sum _{ij}{g}_{ij}{u}^i{v}^j}{\sqrt{\left|\sum _{ij}{g}_{ij}{u}^i{u}^j\right|\left|\sum _{ij}{g}_{ij}{v}^i{v}^j\right|}}$

若 $f$ 為${ℝ}^n$ 到 ${ℝ}^n$ 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 $G$，由以下方程式計算得出：

$G=J^{T}J$

$J$ 表示 $f$ 的雅可比矩阵，它的轉置为 $J^T$。著名例子有 ${ℝ}^2$ 之間從極座標系 $(r,\theta )$ 到直角座標 $(x,y)$ 的座標變換，在這例子裡有：

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

這映射的雅可比矩陣為

$J=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right].$

所以

$G=(g_{ij})=J^{\mathrm{T}}J=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & -r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\ -r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta & r^2{\sin }^2\theta +r^2{\cos }^2\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right]$

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2$，一致。

例子

歐幾里德幾何度量

二維歐幾里德度量張量：

$(g_{ij})=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}{x}^1}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}{x}^2}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t$

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：$(x^1,x^2)=(r,\theta )$

$(g_{ij})=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (x^1{)}^2\end{array}\right]$

圓柱坐標系：$(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta ,z)$

$(g_{ij})=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& (x^1{)}^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

球坐標系：$(x^1,x^2,x^3)=(r,\varphi ,\theta )$

$(g_{ij})=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& (x^1{)}^2& 0\\ 0& 0& (x^1\sin x^2{)}^2\end{array}\right]$

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$

$(g_{\mu \nu })=({\eta }_{\mu \nu })\equiv \left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

$(g_{\mu \nu })=({\eta }_{\mu \nu })\equiv \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

參看

• 偽黎曼度量