克罗内克δ函数

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）${\delta }_{ij}$ 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$ 。

克罗内克函数的值一般简写为 ${\delta }_{ij}$ 。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

${\delta }_{ij}=[i=j]$ 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 ${\delta }_i$ ：

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }i=0\\ 0,& \text{if }i\ne 0\end{array}$ 。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 ${\delta }_j^i$ 。

数字信号处理

冲激函数

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 $\mathbb{Z}$ (整数)的函数：

$\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$ 。

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质

克罗内克函数有筛选性：对任意 $j\in \mathbb{Z}$ ：

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_{ij}{a}_i=a_j$ 。

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y)$ 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 $\delta (t)$ 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 $({\delta }_{ij}{)}_{i,j=1}^n$ 。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 ${\delta }_j^i$ 。

这个(1,1)向量表示:

• 作为线性映射的单位矩阵。
• 迹数。
• 内积 $V^{*}\otimes V\to K$ 。
• 映射 $K\to V^{*}\otimes V$ ，将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數

定義廣義克羅內克函數為 $n\times n$ 矩陣的行列式，以方程式表達為

${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}=\left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{i_1}^{j_1}{\delta }_{i_2}^{j_1}& \cdots & {\delta }_{i_n}^{j_1}\\ {\delta }_{i_1}^{j_2}{\delta }_{i_2}^{j_2}& \cdots & {\delta }_{i_n}^{j_2}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{i_1}^{j_n}{\delta }_{i_2}^{j_n}& \cdots & {\delta }_{i_n}^{j_n}\end{array}\right]$ ；

其中，${\delta }_j^i$ 是個張量函數，定義為 ${\delta }_j^i\stackrel{def}{=}{\delta }_{ij}$ 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

• ${\delta }_{imn}^{ijk}={\delta }_{mn}^{jk}={\delta }_m^j{\delta }_n^k-{\delta }_n^j{\delta }_m^k$ 。
• ${\delta }_{ijm}^{ijk}=2{\delta }_m^k$ 。
• ${\delta }_{ijk}^{ijk}=6$ 。
• ${\delta }_{lmn}^{ijk}={ϵ}^{ijk}{ϵ}_{lmn}$ ；

其中，${ϵ}^{ijk}$ 和 ${ϵ}_{lmn}$ 是列維-奇維塔符號。

• ${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}={ϵ}^{j_1{j}_2\dots j_n}{ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}$ 。
• ${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{12\dots n}={ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}$ 。
• ${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}{T}_{j_1{j}_2\dots j_n}=n!T_{i_1{i}_2\dots i_n}$ ；

其中，$T_{j_1{j}_2\dots j_n}$ 是 $n$ 階張量。

积分表示

对任意的整数 $n$ ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi i}\oint z^{x-n-1}dz$ ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(x-n)\phi }d\phi$ 。

参见

• 列維-奇維塔符號
• Template:Le
• 同或门