柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

内容

如果函数$f(x)$及$g(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可微分；
3. 对任意$x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$；

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$，使等式

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

或

柯西定理的几何意义

$(f(b)-f(a))g{}^{\prime }(\xi )=(g(b)-g(a))f{}^{\prime }(\xi )$

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使Template:Nowrap,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

$t\mapsto (t^3,1-t^2),$

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在Template:Nowrap时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当Template:Nowrap时的特殊情况。

证明

首先，如果$g(a)=g(b)$，由罗尔定理，存在一点$x_0\in (a,b)$使得$g^{\prime }(x_0)=0$，与条件3矛盾。所以$g(a)\ne g(b)$。

令$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x)$。那么

1. $h$在$[a,b]$上连续，
2. $h$在$(a,b)$上可导，
3. $h(a)=h(b)=\frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}$。由罗尔定理，存在一点$c\in (a,b)$使得$h^{\prime }(c)=0$。即$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(c)$。命题得证。

参见

• 拉格朗日中值定理
• 微分中值定理
• 罗尔定理