斜率

斜率：$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\tan (\theta )$，$\theta$是傾角

在数学上，直线的斜率（slope）或称梯度（gradient），是描述与度量该线“方向”和“陡度”的数字，常用 $m$ 表示；斜率也用來计算斜坡的“斜度”（傾斜程度）。透過代數和幾何能計算出直線的斜率。

一直線的斜率在其上任一點皆相等；一曲線的斜率在其上任一點则不定，由該點切線的斜率而決定。曲線上某點的切線斜率，反映此曲線的變數在此點的變化快慢程度。透過微積分可計算出曲線中任一點的切線斜率，直线斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一個相關概念是傾角（angle of inclination）或斜角，即直線與水平軸（$x$ 軸）所夾的最小角，以 $\theta$ 表示，$-90^{\circ }<\theta \le 90^{\circ }$。傾角 $\theta$ 的正切函數值為直線的斜率，即 $m=\tan (\theta )$；而 $\theta =\arctan (m)$，$\arctan$ 是反正切函數。

定义

• 對於直角坐標系，一次函数：$y=kx+b$，若 $k$、$b$ 均不为0，則可說 $k$ 是斜率，$b$ 是截距。

• 若橫軸為 $x$ 軸，縱軸是 $y$ 軸，斜率 $m$ 可表示为：

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$　($\mathrm{\Delta }$：變數的改變)

• 若已知道直角坐标系内两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，则斜率 $m$ 可表示为：

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

• 垂直线的斜率是未定义的，因为此时 $\mathrm{\Delta }x=0$（即 分母为 0）。

运算

点斜式

如已知點$(x_0,y_0)$斜率為$m$的直線方程式時，即可使用此方法。

$y-y_0=m(x-x_0)$

截距式

若已知某直线在$x$轴、$y$轴上的截距分别为$a$, $b$，则该直线的方程可以表示为：

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

两点式

如已知$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$相異兩點$x_1$≠$x_2$，$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

②若$x_1=x_2$，$x=x_1$

原理：兩個相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率$m$ ，$y$截距為$b$，則直線的方程式是

$y=mx+b.$

若$x$截距為$a$，則是 $y=m(x-a).$

參見

• 直線
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程组