拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也簡稱-{均值定理}-，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，為罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

内容

文字叙述

如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续;
2. 在开区间$(a,b)$内可微分;

则$\mathrm{\exists }\xi ,a<\xi <b$，使$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

证明

拉格朗日中值定理的几何意义：函數$f(x)$在點$\xi$處的切線，平行於$f(a)$和$f(b)$兩點之間的連線。

令

$g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)$

。那么

1. $g$在$[a,b]$上连续，
2. $g$在$(a,b)$上可微（导），
3. $g(a)=g(b)=0$。由罗尔定理，存在至少一点$\xi \in (a,b)$，使得$g^{\prime }(\xi )=0$。即$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

其他形式

1.$f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1$;

2. $f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1$. 或 $f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x,0<\theta <1$.

另请参见

• 中值定理