积分第二中值定理

Template:NoteTA Template:中值定理 积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(a)\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}g(x)\mathrm{d}x+f(b)\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$；

退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )$；

进而导出：

$\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f(x)dx-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$；

此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

另请参见

中值定理