洛必达法则

Template:NoteTA Template:微積分學 洛必達法則（又稱罗比塔法则）（Template:Lang-fr，Template:Lang-en）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。

敘述

洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令$c\in \overline{ℝ}$（擴展實數），兩函數$f(x),g(x)$在以$x=c$為端點的開區間可微，$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in \overline{ℝ}$，並且$g^{\prime }(x)\ne 0$。

如果 $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$ 或 $\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty }$ 其中一者成立，則稱欲求的極限$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$為未定式。

此時洛必达法则表明：

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$。

對於不符合上述分數形式的未定式，可以通過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例：

欲求的極限	條件	轉換為分數形式的方法
（1）$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$ 或 $\underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/f(x)}$
（2）$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$
（3）$\underset{x\to c}{\lim }{f(x)}^{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$ 或 $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
（4）$\underset{x\to c}{\lim }{f(x)}^{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$

注意：不能在数列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

證明

下面仅给出 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0,g^{\prime }(a)\ne 0$ 的证明。

设两函數$f(x)$及$g(x)$在a 點附近连续可导，$f(x)$及$g(x)$都在 a 點連續，且其值皆為 0 ，

$f(a)=0;g(a)=0,\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0;\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$

为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L.$

由極限的定义，对任何一个$ϵ>0$（試想像y軸），都存在$\eta >0$（試想像x軸），使得对任意的$a-\eta ⩽x⩽a+\eta ,x\ne a$，都有：

$L-ϵ⩽\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}⩽L+ϵ$

而根据柯西中值定理（逆定理），对任意的$a-\eta ⩽x⩽a+\eta ,x\ne a$，都存在一个介于$a$和$x$之间的数$\xi$，使得：

$\frac{f(x)}{g(x)}$	$=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
于是，	$L-ϵ⩽\frac{f(x)}{g(x)}⩽L+ϵ$

因此，

极限$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

例子

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \pi x}{\pi x}$	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$
	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}$	$=\frac{1}{1}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}$	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x}$
	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x}$
	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\cos x+8\cos 2x}{\cos x}$
	$=\frac{-2\cos 0+8\cos 0}{\cos 0}$
	$=6$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{r^x-1}{x}$	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}{r}^x}{\frac{d}{dx}x}$
	$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{r^x\ln r}{1}$
	$=\ln r\underset{x\to 0}{\lim }{r}^x$
	$=\ln r$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\ln (x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{2}=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n{x}^{n-1}}{e^x}=n\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{n-1}}{e^x}=0$

$\underset{x\to 0+}{\lim }(x\ln x)=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0+}{\lim }-x=0$

$\underset{t\to 0}{\lim }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f_{0}t)\cdot \frac{\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{[1-{\left(2\alpha f_{0}t\right)}^2]}$	$=\{\underset{t\to 0}{\lim }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f_{0}t)\}\cdot {\frac{\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{[1-{\left(2\alpha f_{0}t\right)}^2]}|}_{t=0}$
	$=1\cdot 1=1$

$\underset{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}}{\lim }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f_{0}t)\cdot \frac{\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{[1-{\left(2\alpha f_{0}t\right)}^2]}$	$=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{1}{2\alpha }\right)\cdot \underset{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}}{\lim }\frac{\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{[1-{\left(2\alpha f_{0}t\right)}^2]}$
	$=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{1}{2\alpha }\right)\cdot \left(\frac{\frac{-\pi }{2}}{-2}\right)$
	$=\sin \left(\frac{\pi }{2\alpha }\right)\cdot \frac{\alpha }{2}$

参阅

• 极限

参考文献

来源

• Template:Cite web