积分第一中值定理

Template:NoteTA Template:中值定理 积分第一中值定理的内容为：

设 $f:[a,b]\to 𝐑$ 为一连续函数，$g:[a,b]\to 𝐑$ 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 $\xi \in [a,b]$ 使得

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(\xi )\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$。

事实上，可以证明，上述的中值点$\xi$必能在开区间$(a,b)$内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明

因为 $f$ 是闭区间上的连续函数，$f$ 取得最大值 $\mathrm{M}$ 和最小值 $\mu$。于是

$\mathrm{M}g(x)\ge f(x)g(x)\ge \mu g(x)$。

对不等式求积分，我们有

$\mathrm{M}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x\ge \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\ge \mu \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x$。

若 $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x=0$，则 $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=0$。$\xi$ 可取 $[\alpha ,\beta ]$ 上任一点。

设 $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x>0$，那么

$\mathrm{M}\ge \frac{\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x}\ge \mu$。

因为 $\mathrm{M}\ge f(x)\ge \mu$是连续函数，根據介值定理，必存在一点 $\xi \in [\alpha ,\beta ]$，使得

$f(\xi )=\frac{\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}g(x)\mathrm{d}x}$。

中值点在开区间内存在的证明

已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，设$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$。

知$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F^{\prime }(\xi )$，其中$\xi \in (a,b)$

即

$\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)dt}{b-a}=f(\xi )$

所以

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$。

参考文献

由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么$\xi \in [a,b]$可以改为 $\xi \in (a,b)$。 因为 $f(x)$在 $[a,b]$上连续，所以$f(x)$在 $[a,b]$上有最大值 $M$和最小值 $m$。设$f(x_1)=m$，$f(x_2)=M$，$x_1$，$x_2$$\in [a,b]$，如果$m=M$，则$f(x)$是常值函数，任取$\xi \in (a,b)$即可。如果 $m<M$，由于函数$M-f(x)$连续且有一点$x_1$使 $M-f(x_1)>0$ ，所以由积分性质有 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[M-f(x)]dx>0$，即

$M(b-a)>\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

同理可得 $m(b-a)<\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$,故有

$m<\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx<M$

由连续函数的介值定理，至少存在一点$\xi \in (x_1,x_2)$⊂$(a,b)$（或$(x_2,x_1)$⊂$(a,b)$），使得$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )$，即

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》

另请参见

• 中值定理