矩生成函數

Template:NoteTA 在概率論和統計學中，一個實數值隨機變量的動差-{}-母函數（Template:Lang）又稱動差-{}-生成函數，-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-，矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此，與直接使用概率密度函數或累積分佈函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數，有特別簡單的結果。 然而，並非所有隨機變量都具有矩生成函數。

顧名思義，矩生成函數可用於計算分佈的矩：關於 0 的第$n$個矩是矩生成函數的第$n$階導數，在 0 處求值。

除了實值分佈（單變量分佈），矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量，甚至可以擴展到更一般的情況。

與特徵函數不同，一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係，例如矩的存在。

定義

隨機變數$X$的動差母函數定義為：

$M_X(t)=𝔼\left(e^{tX}\right),t\in ℝ$

前提是这个期望值存在。

计算

如果$X$具有连续概率密度函数$f(x)$，则它的動差母函數由下式给出：

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$=1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots$

其中$m_i$是第$i$阶矩。$M_X(-t)$是$f(x)$的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

$M_X(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$

其中$F$是累积分布函数。

如果$X_1,X_2,\dots ,X_n$是一系列独立的随机变量，且

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$

其中$a_i$是常数，则$S_n$的概率密度函数是每一个$X_i$的概率密度函数的卷积，而$S_n$的矩生成函数则为：

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\cdots M_{X_n}(a_{n}t)$　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，矩生成函数为：

$M_X(𝐭)=\mathrm{E}\left(e^{⟨𝐭,𝐗⟩}\right)$

其中$𝐭$是一个向量，$⟨𝐭,𝐗⟩$ 是数量积。

意义

只要矩生成函数在$t=0$周围的开区间存在，第$n$个矩为：

$𝔼\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)={\frac{{\mathrm{d}}^n{M}_X(t)}{\mathrm{d}{t}^n}|}_{t=0}$　。

如果矩生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是矩生成函数的对数。

例子

下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子，用於比較。 可以看出，特徵函數是矩生成函數$M_X(t)$存在時的威克轉動（Wick rotation）。

分布	矩生成函數 $M_X(t)$	特徵函數 $\phi (t)$
退化 ${\delta }_a$	$e^{ta}$	$e^{ita}$
伯努利 $P(X=1)=p$	$1-p+p{e}^t$	$1-p+p{e}^{it}$
幾何 $(1-p{)}^{k-1}p$	$\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$ $\mathrm{\forall }t<-\ln (1-p)$	$\frac{p{e}^{it}}{1-(1-p)e^{it}}$
二項式 $B(n,p)$	${(1-p+p{e}^t)}^n$	${(1-p+p{e}^{it})}^n$
负二项 $\mathrm{NB}(r,p)$Template:註	${\left(\frac{p}{1-e^t+p{e}^t}\right)}^r,t<-\log (1-p)$	${\left(\frac{p}{1-e^{it}+p{e}^{it}}\right)}^r$
卜瓦松 $\mathrm{Pois}(\lambda )$	$e^{\lambda (e^t-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
均勻(連續型) $\mathrm{U}(a,b)$	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
均勻(離散型) $\mathrm{DU}(a,b)$	$\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^t)}$	$\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}$
拉普拉斯 $L(\mu ,b)$	$\frac{e^{t\mu }}{1-b^2{t}^2},\left|t\right|<\frac{1}{b}$	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
正态 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$e^{t\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
卡方(Chi-squared) ${\chi }_k^2$	$(1-2t{)}^{-\frac{k}{2}}$	$(1-2it{)}^{-\frac{k}{2}}$
Noncentral chi-squared ${\chi }_k^2(\lambda )$	$e^{\frac{\lambda t}{1-2t}}(1-2t{)}^{-\frac{k}{2}}$	$e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it{)}^{-\frac{k}{2}}$
伽玛(Gamma) $\mathrm{\Gamma }(k,\theta )$	$(1-t\theta {)}^{-k},\mathrm{\forall }t<\frac{1}{\theta }$	$(1-it\theta {)}^{-k}$
指数(Exponential) $\mathrm{Exp}(\lambda )$	${(1-t{\lambda }^{-1})}^{-1},t<\lambda$	${(1-it{\lambda }^{-1})}^{-1}$
多元正态 $N(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$	$e^{{𝐭}^{\mathrm{T}}(\mathit{\mu }+\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }𝐭)}$	$e^{{𝐭}^{\mathrm{T}}(i\mathit{\mu }-\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }𝐭)}$
柯西(Cauchy) $\mathrm{Cauchy}(\mu ,\theta )$	不存在	$e^{it\mu -\theta |t|}$
Multivariate Cauchy $\mathrm{MultiCauchy}(\mu ,\mathrm{\Sigma })$	不存在	$e^{i{𝐭}^{\mathrm{T}}\mathit{\mu }-\sqrt{{𝐭}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }𝐭}}$

参见

• 主動差
• 動差
• 阶乘矩生成函数
• 速率函数