卡方分佈

卡方分布（Template:Lang-en, Template:Nowrap，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：

1. 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
2. 同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
3. 二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

数学定义

若k个随机变量$Z_1$、……、$Z_k$是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

$X=\sum _{i=1}^k{Z}_i^2$

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

$X\sim {\chi }^2(k)$

$X\sim {\chi }_k^2$

性质

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

$f_k(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}{x}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{\frac{-x}{2}}$

其中$x\ge 0$，当$x\le 0$时$f_k(x)=0$。这里Γ代表Gamma函数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

$F_k(x)=\frac{\gamma (\frac{k}{2},\frac{x}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}$，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

$H=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\ln (f(x))dx=\frac{k}{2}+\ln \left(2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)\right)+(1-\frac{k}{2})\psi (k/2)$

其中$\psi (x)$是雙伽瑪函數。

卡方變數與Gamma變數的關系

當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即：

$r.v.Y={\chi }^2\left(U\right)=\mathrm{\Gamma }(\alpha =\frac{U}{2},\lambda =\frac{1}{2})$

$\mathrm{E}\left({\chi }^2\left(U\right)\right)=\mathrm{E}\left(Y\right)=\frac{\alpha }{\lambda }=\frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}}=U$

$\mathrm{Var}\left({\chi }^2\left(U\right)\right)=\mathrm{Var}\left(Y\right)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}=\frac{\frac{U}{2}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=2U$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度

可加性

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若$X_1,X_2,\dots X_n$分别独立服从自由度为$k_1,k_2,\dots k_n$的卡方分布，那么它们的和$\sum _{i=1}^n{X}_i$服从自由度为$\sum _{i=1}^n{k}_i$的卡方分布。

偏差的平方和

若k个随机变量$Z_1$、……、$Z_k$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

$X=\sum _{i=1}^k(Z_i-\overline{Z}{)}^2\sim {\chi }_{k-1}^2$

其中均值

$\overline{Z}=\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{Z}_i$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

$n{\overline{Z}}^2\sim {\chi }_1^2$

卡方分布表

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

自由度k \ P value （概率）	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.64	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.60	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.82	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.86	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59

外部链接

• 卡方分配與卡方檢定 Template:Wayback

• 分布计算器Template:WaybackTemplate:En