双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换是一種积分变换，其形式類似機率中的動差生成函數，双边拉普拉斯变换和傅立葉變換、梅林變換及單邊的拉普拉斯变换有緊密的關係。若ƒ(t)為實數t的實數函數或是複變函數，t可以為任意實數，則双边拉普拉斯变换可以用以下的積分表示：

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

此積分為反常積分，此積分收斂若且唯若以下二個積分

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt,\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

都存在。双边拉普拉斯变换沒有一個廣為大家接受的表示方式，此處用的符號是$ℬ$，表示雙向（bilateral），有些作者會用以下的式子來表示：

$𝒯\{f(t)\}=sℬ\left\{f\right\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

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