連續型均勻分布

Template:Unreferenced Template:ExpandTemplate:NoteTA Template:Probability distribution 連續型均匀分布（Template:Lang-en）或矩形分布（Template:Lang）的随机变量$𝑋$，在其值域之內的每個等長區間上取值的概率皆相等。其概率密度函数在該變量的值域內為常數。若$X$服從$[a,b]$上的均匀分布，則记作$X\sim U[a,b]$。

定义

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量$X$可给出如下函数：

概率密度函数：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{for }a\le x\le b\\ 0& \text{elsewhere}\end{array}$

累积分布函数：

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{for }x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{for }a\le x<b\\ 1& \text{for }x\ge b\end{array}$

MGF：

$M_X(t)=E(e^{tx})=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$

公式

期望值和中值： 是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

$E[X]=\frac{a+b}{2}$

方差：

$VAR[X]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

均匀分布具有下属意义的等可能性。若$X\sim U[a,b]$,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

$P(c\le x\le d)=F(d)-F(c)=\underset{c}{\overset{d}{\int }}\frac{1}{b-a}dx=\frac{d-c}{b-a}$

只与区间[c,d]的长度有关，而与它的位置无关。