指数分布

在機率論和統計學中，指數分布（Template:Lang-en）是一種連續機率分佈。指數分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件發生的間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

記號

指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布。

若隨機變數$X$服从母數為$\lambda$或$\beta$的指数分布，則記作

$X\sim \text{Exp}(\lambda )$ 或 $X\sim \text{Exp}(\beta )$

兩者意義相同，只是$\lambda$與$\beta$互為倒數關係。只要將以下式子做$\lambda =\frac{1}{\beta }$的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為：

$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

或

$f(x;\beta )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\beta }{e}^{-\frac{1}{\beta }x}& x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

累积分布函数為：

$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

或

$F(x;\beta )=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\frac{1}{\beta }x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

其中$\lambda >0$是分布的母數，即每单位时间发生该事件的次数；$\beta$為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。

特性

期望值与變異數

随机变量X (X 的母數為λ或β) 的期望值是：

$𝐄(X)=\frac{1}{\lambda }=\beta$

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

$𝐕𝐚𝐫(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}={\beta }^2$

X 的偏態系数是： V[X] = 1

无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

$P(T>s+t|T>t)=P(T>s)\text{for all}s,t\ge 0.$

与泊松过程的关系

泊松過程是一种重要的随机过程。泊松過程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

$\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^0}{0!}=e^{-\lambda t}$,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 $\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^1}{1!}=e^{-\lambda t}\lambda t$, 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于$1-e^{-\lambda t}$。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

$F^{-1}(p;\lambda )=\frac{-\ln (1-p)}{\lambda },0\le p<1$

• 第一四分位数：$\ln (4/3)/\lambda$
• 中位数：$\ln (2)/\lambda$
• 第三四分位数：$\ln (4)/\lambda$

因此，四分位距為ln(3)/λ。

参数估计

最大概似法

给定独立同分布样本x = (x₁, ..., x_n)，λ的似然函数（Likelihood function）是：

$L(\lambda )=\prod _{i=1}^n\lambda \exp (-\lambda x_i)={\lambda }^n\exp (-\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i)={\lambda }^n\exp (-\lambda n\bar{x})$

其中：

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\ln L(\lambda )=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }(n\ln (\lambda )-\lambda n\bar{x})=\frac{n}{\lambda }-n\bar{x}\{\begin{array}{cc}>0& \text{if}0<\lambda <1/\bar{x},\\ \\ =0& \text{if}\lambda =1/\bar{x},\\ \\ <0& \text{if}\lambda >1/\bar{x}.\end{array}$

参数λ的最大概似估計（Maximum likelihood）值是：

$\hat{\lambda }=\frac{1}{\bar{x}}$

參見

• 拉普拉斯分布（又稱：雙指數分布）
• 幾何分布

参考文獻

1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結

• 指数分布 Template:Wayback