幾何分佈

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（ $X$ 的分布）经常被称作shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是 $p$ ，那么 $k$ 次试验中，第 $k$ 次才得到成功的概率是，

\Pr (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

其中 $k = 1, 2, 3, \dots$ .

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

\Pr (Y = k) = (1 - p)^{k} p

其中 $k = 0, 1, 2, 3, \dots$

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个 $p = \frac{1}{6}$ 的几何分布。

性质

呈几何分布的随机变量X的期望值是1/p，方差是（1-p)/p²:

E (X) = \frac{1}{p}, v a r (X) = \frac{1 - p}{p^{2}} .

幾何分布具有非記憶性的性質（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）

這表示如果一個隨機變數呈幾何分布，它的條件機率遵循：

P (T > s + t | T > t) = P (T > s) for all

s, t ∈ℕ.

若随机变量 $𝑋$ 服从参数为 $𝑝$ 的几何分布，则记为 $X \sim G (p)$ .

在重复多次的伯努利試驗中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。