积分变换

Template:Unreferenced 積分變換（integral transform）是數學中作用于函数的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換、拉普拉斯變換等。

概述

以一變數為 $t$ 的函數 $f(t)$ 為例，$f(t)$ 經過一積分轉換 $T$ 得到 $Tf(u)$：

$(Tf)(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}K(t,u)f(t)dt$

其中 $K$ 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的核函數（kernel function）或核（nucleus）。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。$f(t)$ 称为象原函数，$Tf(u)$ 称为 $f(t)$ 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換（inverse transform），使得

$f(t)=\underset{u_1}{\overset{u_2}{\int }}{K}^{-1}(u,t)(Tf)(u)du$

而 $K^{-1}(u,t)$ 稱為反核（inverse kernel）。

積分變換表

积分变换	符号	核K	f(t)	t1	t2	反核K−1	u1	u2
Template:Tsl	F, f	$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$		u	$\mathrm{\infty }$	$\frac{-1}{\pi \sqrt{u^2-t^2}}\frac{d}{du}$	t	$\mathrm{\infty }$
相关 Legendre 变换（Associated Legendre transform）	${𝒥}_{n,m}$	$(1-x^2{)}^{-m/2}{P}_n^m(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
傅里叶变换	$ℱ$	$e^{-2\pi iut}$	$L_1$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$e^{2\pi iut}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
傅里叶正弦变换	${ℱ}_s$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin (ut)$	on $[0,\mathrm{\infty })$, real-valued	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin (ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
傅里叶余弦变换	${ℱ}_c$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos (ut)$	on $[0,\mathrm{\infty })$, real-valued	0	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos (ut)$	0	$\mathrm{\infty }$
汉克尔变换		$t{J}_{\nu }(ut)$		0	$\mathrm{\infty }$	$u{J}_{\nu }(ut)$	0	$\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$\mathscr{H}$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$H$	$e^{-x^2}{H}_n(x)$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$		$0$	$\mathrm{\infty }$
希尔伯特变换	$\mathscr{H}il$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$J$	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_n^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$L$	$e^{-x}{x}^{\alpha }{L}_n^{\alpha }(x)$		$0$	$\mathrm{\infty }$		$0$	$\mathrm{\infty }$
拉普拉斯变换	$ℒ$	e−ut		0	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$𝒥$	$P_n(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
梅林变换	$ℳ$	tu−1		0	$\mathrm{\infty }$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
双边拉普拉斯变换	$ℬ$	e−ut		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Template:Tsl		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$		0	2π
拉东变换	Rƒ			$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	$𝒲$	$\frac{e^{-\frac{(u-t{)}^2}{4}}}{\sqrt{4\pi }}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{\frac{(u-t{)}^2}{4}}}{i\sqrt{4\pi }}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Template:Tsl	Xƒ			$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
狄拉克δ函数		$\delta (u-t)$		$t_1<u$	$t_2>u$	$\delta (t-u)$	$u_1<t$	$u_2>t$

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

参见

• 线性微分方程
• 拉普拉斯变换
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 初值問題
• 边值问题