多元正态分布

多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。

一般形式

N维随机向量$X=[X_1,\dots ,X_N{]}^T$如果服从多变量正态分布，必须满足下面的三个等價条件：

1. 任何线性组合$Y=a_1{X}_1+\cdots +a_N{X}_N$服从正态分布。
2. 存在随机向量$Z=[Z_1,\dots ,Z_M{]}^T$( 它的每个元素服从独立标准正态分布），向量$\mu =[{\mu }_1,\dots ,{\mu }_N{]}^T$及$N\times M$ 矩阵$A$满足$X=AZ+\mu$.
3. 存在$\mu$和一个对称半正定阵$\mathrm{\Sigma }$满足$X$的特征函数

   ${\varphi }_X(u;\mu ,\mathrm{\Sigma })={\mathrm{e}}^{i{\mu }^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T\mathrm{\Sigma }u}$

如果$\mathrm{\Sigma }$是非奇异的，那么该分布可以由以下的概率密度函数来描述：

$f_{𝐱}(x_1,\dots ,x_k)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^k|\mathrm{\Sigma }|}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}(𝐱-\mathit{\mu }{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu })},$

注意这里的$|\mathrm{\Sigma }|$表示协方差矩阵的行列式。

二元的情况

在二维非奇异的情况下（Template:Nowrap），向量 Template:Nowrap 的概率密度函数为：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}{)}^2-2\rho (\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X})(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y})+(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}{)}^2]}$

其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数，${\sigma }_X>0$ 且 ${\sigma }_Y>0$。在这种情况下，

$\mathit{\mu }=\left(\begin{array}{c}{\mu }_X\\ {\mu }_Y\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_X^2& \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y\\ \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y& {\sigma }_Y^2\end{array}\right).$