量子諧振子

Template:NoteTA Template:量子力学 在量子力學裏，量子諧振子（Template:Lang-en）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

一維諧振子

哈密頓算符與能量本徵態

能量最低的八個束縛本徵態的波函數表徵（n = 0到7）。橫軸表示位置x。此圖未經歸一化。

在一維諧振子問題中，一個質量為m的粒子，受到一位勢$V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$。此粒子的哈密頓算符為

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

其中x為位置算符，而p為動量算符$(p=-i\hslash \frac{d}{dx})$。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：

$H|\psi ⟩=E|\psi ⟩$.

在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

$⟨x|{\psi }_n⟩=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n!}}\cdot {\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}\cdot \exp (-\frac{m\omega x^2}{2\hslash })\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x\right)$

$n=0,1,2,\dots$

前8个解（n = 0到7）如右圖。函數$H_n$為埃爾米特多項式：

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$。

束縛本徵態之機率密度|ψ_n(x)|²，從最底部的基態（n = 0）開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置x，而較亮的色彩代表較高的機率密度。

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即$\hslash \omega$乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當n = 0）不為零，而是$\hslash \omega /2$，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符a與其伴隨算符（adjoint）a^†：

$\begin{array}{ccc}a& =& \sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x+\frac{i}{m\omega }p)\\ a^{†}& =& \sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x-\frac{i}{m\omega }p)\end{array}$

算符a並非厄米算符（Hermitian），因其與伴隨算符a^†並不相同。

算符a與a^†有如下性質：

$\begin{array}{ccc}a|{\varphi }_n⟩& =& \sqrt{n}|{\varphi }_{n-1}⟩\\ a^{†}|{\varphi }_n⟩& =& \sqrt{n+1}|{\varphi }_{n+1}⟩\end{array}$

在推導a^†形式的過程中，已用到算符x與p（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

$\begin{array}{ccc}x& =& \sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a^{†}+a)\\ p& =& i\sqrt{\frac{\hslash m\omega }{2}}(a^{†}-a)\end{array}$

x與p算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：

$[x,p]=i\hslash$.

方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為

$[A,B]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}AB-BA$.

利用上面關係，可以證明如下等式：

$H=\hslash \omega (a^{†}a+1/2)$

$[a,a^{†}]=1$.

現在，讓$|{\psi }_E⟩$代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此

$(a|{\psi }_E⟩,a|{\psi }_E⟩)=⟨{\psi }_E|a^{†}a|{\psi }_E⟩\ge 0$。

將a^†a以哈密頓算符表示：

$⟨{\psi }_E|\frac{H}{\hslash \omega }-\frac{1}{2}|{\psi }_E⟩=(\frac{E}{\hslash \omega }-\frac{1}{2})\ge 0$，

因此$E\ge \hslash \omega /2$。注意到當（$a|{\psi }_E⟩$）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而$E=\hslash \omega /2$。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（n = 0）。

利用上面等式，可以指出a及a^†與H的對易關係：

$\begin{array}{ccc}[H,a]& =& -\hslash \omega a\\ [H,a^{†}]& =& \hslash \omega a^{†}\end{array}$.

因此要是（$a|{\psi }_E⟩$）並非零右括向量，

$\begin{array}{ccc}H(a|{\psi }_E⟩)& =& ([H,a]+aH)|{\psi }_E⟩\\ & =& (-\hslash \omega a+aE)|{\psi }_E⟩\\ & =& (E-\hslash \omega )(a|{\psi }_E⟩)\end{array}$.

類似地，也可以指出

$H(a^{†}|{\psi }_E⟩)=(E+\hslash \omega )(a^{†}|{\psi }_E⟩)$.

換句話說，a作用在能量為E的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 $E-\hslash \omega$的本徵態，而a^†作用在能量為E的本徵態，產生出另一個能量為$E+\hslash \omega$的本徵態。因為這樣，a稱作降算符而a^†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a與a^†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符a作用在其上，產生了另一個能量少了$\hslash \omega$的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求$E\ge \hslash \omega /2$相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作$|0⟩$（勿與零右括向量混淆），使得

$a|0⟩=0$（即a對$|0⟩$作用後產生零右括向量（zero ket））。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了

$H|0⟩=(\hslash \omega /2)|0⟩$。

最後，透過將升算符作用在$|0⟩$上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合$\{|0⟩,|1⟩,|2⟩,...,|n⟩,...\}$使得

$H|n⟩=\hslash \omega (n+1/2)|n⟩$，這與前段所給的能譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，$a|0⟩=0$變為

$x{\psi }_0(x)+\frac{\hslash }{m\omega }\frac{d{\psi }_0(x)}{dx}=0$。

所以，

$\frac{d\ln {\psi }_0(x)}{dx}=-\frac{\hslash }{m\omega }x+\text{ Constant}$。

這個方程式的解為，經過歸一化，

${\psi }_0(x)={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-m\omega x^2/2\hslash }$。

自然長度與能量尺度

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以$\hslash \omega$為單位來測量能量，以及${(\hslash /\left(m\omega \right))}^{1/2}$為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：

$H=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{u}^2}+\frac{1}{2}{u}^2$，

且能量本徵態與本徵值變成

$⟨x|{\psi }_n⟩=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{\pi }^{-1/4}\text{exp}(-u^2/2)H_n(u)$

$E_n=n+\frac{1}{2}$.

為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

案例：雙原子分子

在雙原子分子中，自然頻率可以發現為[1] Template:Wayback：

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m_r}}$

其中

$\omega =2\pi f$為角頻率，

k是共價鍵勁度係數

$m_r$是約化質量。

N維諧振子

一維諧振子很容易地推廣到$N$維。在一維中，粒子的位置是由單一座標x來指定的。在$N$維中，這由$N$個位置座標所取代，以$x_1,x_2,\dots ,x_N$標示。對應每個位置座標有個動量，標示為p₁, ..., p_N。這些算符之間的正則對易關係為

$\begin{array}{ccc}[x_i,p_j]& =& i\hslash {\delta }_{i,j}\\ [x_i,x_j]& =& 0\\ [p_i,p_j]& =& 0\end{array}$.

系統的哈密頓算符為

$H=\sum _{i=1}^N(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_i^2)$。

從這個哈密頓量的形式，可以發覺，$N$維諧振子明確地可比擬為$N$個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數$x_1,x_2,\dots ,x_N$是$N$個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為$N$個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數$\{n\}$，一個$N$維諧振子的能量本徵函數$⟨𝐱|{\psi }_{\{n\}}⟩$等於$N$個一維本徵函數$⟨x_i|{\psi }_{n_i}⟩$的乘積：

$⟨𝐱|{\psi }_{\{n\}}⟩=\prod _{i=1}^N⟨x_i|{\psi }_{n_i}⟩$。

採用階梯算符方法，定義$N$組階梯算符，

$a_i=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x_i+\frac{i}{m\omega }{p}_i)$，

$a_i^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x_i-\frac{i}{m\omega }{p}_i)$。

類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個$a_i$與$a_i^{†}$算符將能量分別降低或升高$\hslash \omega$。哈密頓量是

$H=\hslash \omega \sum _{i=1}^N(a_i^{†}{a}_i+\frac{1}{2})$。

這量子系統的能階$E$是

$E=\hslash \omega [(n_1+\cdots +n_N)+\frac{N}{2}]$；

其中，正整數$n_i$是$|{\psi }_{n_i}⟩$的量子數。

如同一維案例，能量是量子化的。$N$維基態能階是一維基態能階的$N$倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在$N$維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定$n=n_1+n_2+n_3$。每一個$n$相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予$n$，首先選擇一個$n_1$。那麼，$n_2+n_3=n-n_1$，有$n-n_1+1$個值，從$0$到$n-n_1$，可以選擇為$n_2$的值。$n_3$的值自動的設定為$n-n_1-n_2$。因此，簡併度是

$d_n=\sum _{n_1=0}^{n}n-n_1+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。

對於$N$維案例，

$d_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n})$。

案例：三維均向諧振子

參閱三維均向諧振子

球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：

$V(r)=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2$；

其中，$\mu$是這問題的質量。由於$m$會被用來標記磁量子數，所以，用$\mu$來標記質量。

這問題的薛丁格方程式為

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2\psi =E\psi$。

薛丁格方程式的全部解答寫為

${\psi }_{klm}(r,\theta ,\varphi )=N_{kl}{r}^l{e}^{-\nu r^2}{L_k}^{(l+\frac{1}{2})}(2\nu r^2)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$；

其中，

$N_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2{\nu }^3}{\pi }}\frac{2^{k+2l+3}k!{\nu }^l}{(2k+2l+1)!!}}$是歸一常數，

$\nu \equiv \frac{\mu \omega }{2\hslash }$

${L_k}^{(l+\frac{1}{2})}(2\nu r^2)$是$k$階广义拉盖尔多项式 (Template:Lang)，$k$是個正整數，

$Y_{lm}(\theta ,\varphi )$是球諧函數，

$\hslash$是約化普朗克常數。

能量本徵值是

$E=\hslash \omega (2k+l+\frac{3}{2})$。

能量通常可以用一個量子數$n$來描述：

$n\equiv 2k+l$。

由於$k$是個正整數，假若$n$是偶數，那麼，角量子數也是偶數：

$l=0,2,\dots ,n-2,n$；

假若$n$是奇數，那麼，角量子數也是奇數：

$l=1,3,\dots ,n-2,n$。

磁量子數$m$滿足不等式

$-l\le m\le l$。

對於每一個$n$與$l$，存在$2l+1$個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數$m$。因此，$n$的兼併度是

$\sum _{l=i,i+2,\dots ,n-2,n}(2l+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$；

其中，總和的指數$l$的初始值是$i=nmod2$。

這結果與先前的方程式相同。

耦合諧振子

兩個質點的耦合諧振子

設想$N$個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為$x_1,x_2,\dots ,x_N$（也就是說，假若一個質點$k$位於其平衡點，則$x_k=0$）。整個系統的哈密頓量是

$H=\sum _{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\sum _{1\le i\le N}(x_i-x_{i-1}{)}^2$；

其中，$x_0=0$。

這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢壘
• 真空災變
• 盎魯效應

參考文獻

• Template:Cite book
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外部連結

• 國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子Template:Dead link
• 喬治亞州州立大學（Template:Lang）線上物理網頁：量子諧振子 Template:Wayback