P進賦值

在數論上，一個整數Template:Mvar的Template:Mvar進賦值指的是能除盡Template:Mvar的質數Template:Mvar的最高次方，一般記做${\nu }_p(n)$。一個等價的定義是，${\nu }_p(n)$是Template:Mvar的質因數分解中Template:Mvar的次方數。

Template:Mvar進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數$ℝ$中的完備化一般，Template:Mvar進絕對值是有理數在P進數${\mathbb{Q}}_p$.

自然數在2進賦值中的分布，並加上十進位中的2的次方做標籤；0的賦值為無限。

定義與性質

以下假定Template:Mvar為質數。

整數

整數Template:Mvar的Template:Mvar進賦值定義如下：

${\nu }_p(n)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{k\in \mathbb{N}:p^k\mid n\}& \text{if }n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }n=0,\end{array}$

其中$\mathbb{N}$是自然數的集合，而$m\mid n$代表$n$可被$m$整除。特別地，${\nu }_p$的定義域及值域如次：${\nu }_p:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

像例如說，${\nu }_2(-12)=2$, ${\nu }_3(-12)=1$，而${\nu }_5(-12)=0$ since $|-12|=12=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0$。

$p^k\parallel n$這符號有時用以表示$k={\nu }_p(n)$。

若$n$是一個正整數，那麼有

${\nu }_p(n)\le {\log }_{p}n$

而這可由$n\ge p^{{\nu }_p(n)}$直接推得。

有理數

Template:Mvar進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上：

${\nu }_p:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

其定義如下：

${\nu }_p\left(\frac{r}{s}\right)={\nu }_p(r)-{\nu }_p(s)$

像例如說，${\nu }_2\left(\frac{9}{8}\right)=-3$且${\nu }_3\left(\frac{9}{8}\right)=2$，而這是因為$\frac{9}{8}=2^{-3}\cdot 3^2$之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：

${\nu }_p(r\cdot s)={\nu }_p(r)+{\nu }_p(s)$

${\nu }_p(r+s)\ge \min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

此外，若${\nu }_p(r)\ne {\nu }_p(s)$，那麼

${\nu }_p(r+s)=\min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

其中$\min$是最小值（也就是兩者中較小者）。

Template:Mvar進絕對值

有理數集$\mathbb{Q}$的Template:Mvar進絕對值定義如下：

$|\cdot {|}_p:\mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}$

而其定義為

$|r{|}_p=p^{-{\nu }_p(r)}.$

因此對所有的$p$而言，$|0{|}_p=p^{-\mathrm{\infty }}=0$；而一個Template:Mvar進絕對值的例子如次：$|-12{|}_2=2^{-2}=\frac{1}{4}$ and $|\frac{9}{8}{|}_2=2^{-(-3)}=8$

Template:Mvar進絕對值滿足下列性質：

非負性	$|r{|}_p\ge 0$
正定性	$|r{|}_p=0⟺r=0$
積性	$|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$
非阿基米德性	$|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$

由積性$|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$可知，對於單位根$1$和$-1$而言，$|1{|}_p=1=|-1{|}_p$，因此這表示說$|-r{|}_p=|r{|}_p$；而次可加性$|r+s{|}_p\le |r{|}_p+|s{|}_p$可由非阿基米德三角不等式$|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$得出。

對$p^{-{\nu }_p(r)}$這個冪的基底Template:Mvar的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：

$\prod _{0,p}|r{|}_p=1$

其中此乘積遍歷所有的質數Template:Mvar及常規絕對值，而此處常規絕對值記做$|r{|}_0$。

這項可由質因數分解得出：質因數的冪$p^k$會成為相對應的Template:Mvar進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將Template:Mvar進絕對值給稱為「Template:Mvar進範數」；Template:Citation needed然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。

一個度量空間可用如下（非阿基米德且Template:Le的）度量由$\mathbb{Q}$生成：

$d:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}$

其定義為

$d(r,s)=|r-s{|}_p.$

以此度量對有理數$\mathbb{Q}$所做的完備化即Template:Mvar進數的集合${\mathbb{Q}}_p$。

參見

• [[p進數|Template:Mvar進數]]
• 阿基米德公理
• 重複度
• 奥斯特洛夫斯基定理
• 勒讓德定理