三角不等式

在三角形中，两条边的长度之和总是大于第三边。

证明所用的三角形

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

几何

标量

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作$\overline{AB}+\overline{BC}\ge \overline{AC}$。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长$\overline{AB}$至点D，并使$\overline{BD}=\overline{BC}$，联结$\overline{DC}$。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以$\mathrm{\angle }BDC=\mathrm{\angle }BCD$。记它们均为$\alpha$。

根据欧几里得第五公设，角$\beta$也就是$\mathrm{\angle }ACD$大于角$\alpha$（$\mathrm{\angle }BCD$，也就是$\mathrm{\angle }BDC$）；

由于角$\beta$对应边$\overline{AD}$，角$\alpha$对应边$\overline{AC}$，因此$\overline{AD}>\overline{AC}$（大角对大边，命题19）。

又由于$\overline{DB}=\overline{BC}$，所以$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AB}+\overline{BC}>\overline{AC}$，即证。

如果我们将该式左右各减去$\overline{BC}$，便能得到$\overline{AB}>\overline{AC}-\overline{BC}$，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时$|a-b|\le c\le a+b$，而a, b, c为三角形三边的长。

向量

用向量的写法，这个不等式可以写成：

$\left|\overrightarrow{AC}\right|\le \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|$

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，该式也可以写成：$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|\le \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|$，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量$\overrightarrow{AB}$的方向向量为$(x_1,y_1)$，向量$\overrightarrow{BC}$的方向向量为$(x_2,y_2)$，

那么因为$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，得向量$\overrightarrow{AC}$的方向向量为$(x_1+x_2,y_1+y_2)$。

因此，$\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}$。

所以，$\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|-\left|\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2$。

而$(2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+4x_1^2{y}_2^2+4x_2^2{y}_1^2+4y_1^2{y}_2^2$，$(2x_1{x}_2+2y_1{y}_2{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+8x_1{x}_2{y}_1{y}_2+4y_1^2{y}_2^2$，

两者相减再配方，得到$(2x_1{y}_2-2x_2{y}_1{)}^2$，该式实际上是$(\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|{)}^2-(\left|\overrightarrow{AC}\right|{)}^2$的值。

当且仅当$x_1{y}_2=x_2{y}_1$时，该式的值为0，而此时我们可以推出$x_1=k{x}_2,y_1=k{y}_2,k\in \mathrm{\Re }$，这说明$x_1$和$x_2$、$y_1$和$y_2$都是平行的。而由于$x_1$，也就是向量$\overrightarrow{AB}$的终点和$x_2$，也就是向量$\overrightarrow{BC}$的起点是相同的，显然$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用$y_1$和$y_2$平行也一样能够推出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$共线。

其他任何情况，也就是$x_1{y}_2\ne x_2{y}_1$时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

實數

在实数中，此式依然成立：$|a+b|\le \left|a\right|+\left|b\right|$。

證明如下：

考慮到實數的平方必然是非负数，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

$a^2+2ab+b^2\le a^2+\left|2ab\right|+b^2$

$2ab\le \left|2ab\right|$

對於$(a<0,b>0)\vee (b<0,a>0)$（即a, b彼此異號），$2ab<\left|2ab\right|$；

對於$(a,b\le 0)\vee (a,b\ge 0)$（即a, b彼此同號），$2ab=\left|2ab\right|$。

像几何中的情况一样，该式的推论为：$|\left|a\right|-\left|b\right||\le |a\pm b|\le \left|a\right|+\left|b\right|$。

反方向

在閔考斯基時空，三角不等式是反方向的：

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y $\in$ V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 t_x t_y ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見

• 次可加性