奥斯特洛夫斯基定理

奥斯特洛夫斯基定理是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。

定义

定义两个绝对赋值 $| \cdot |$ 和 $| \cdot |_{*}$ 是等价的，如果存在一个实数c>0，使得：

\forall x \in 𝕂, | x |_{*} = | x |^{c} .

这是比两绝对赋值结构的拓扑同胚的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为：

| x |_{0} : = {\begin{matrix} 0, & if x = 0 \\ 1, & if x \neq 0 . \end{matrix}

有理数 $ℚ$ 的实绝对赋值是正规实绝对赋值，定义为：

| x |_{\infty} : = {\begin{matrix} x, & if x ⩾ 0 \\ - x, & if x < 0 . \end{matrix}

有时下标Template:Mvar被写成下标1。

给定素数Template:Mvar，Template:Mvar进赋值的定义如下：

任何非零的有理数Template:Mvar可以唯一写成 $x = p^{n} \frac{a}{b}$ 。其中整数Template:Mvar、Template:Mvar和Template:Mvar两两互质。Template:Mvar是整数。Template:Mvar的Template:Mvar进赋值为：

| x |_{p} : = {\begin{matrix} 0, & if x = 0 \\ p^{- n}, & if x \neq 0 . \end{matrix}

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的绝对赋值完备域（从代数结构和拓撲结构方面）同构于实数域或复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。