阿基米德公理

阿基米德公理的示意圖

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下：

對於任何正實數 $a$ 及 $b$，即使 $a$ 多麼小，或是 $b$ 多麼大，也必定存在自然數 $n$，使得 $an>b$。

這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。

这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家Template:Le赋予它这个名字。

在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。

此性質在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序域和局部域的理论，以及大卫·希尔伯特的几何公理系統。

形式敘述以及證明

解釋

簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

1. 給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
2. 給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說，對於任何正實數$a$、$b$，如果$a<b$，則存在自然數$n$，有

$\underset{n\text{ terms}}{\underbrace{a+\cdots +a}}>b$

与實數的完備性的关系

實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：

假設對所有$n$，$na<b$（注意$na$表示$n$个$a$相加），令$S=\{na|n=1,2,3,...\}$，則$b$爲$S$的上界（$S$上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為$\alpha$），於是$\mathrm{\forall }n=1,2,3,...$有

$na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a$

得出$\alpha -a$也是$S$的一個上界，這與$\alpha$是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。