连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

动机

对于巴拿赫代数 $𝒜$ 中的成员 $a$ ，若要将其谱 $\sigma (a)$ 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 $𝒜$ 中成员 $a$ ，再证明这些 $a$ 的多项式序列收敛为 $𝒜$ 中元素。

谱集 $\sigma (a)\subset ℂ$ 上的连续函数由 $z$ 和 $\bar{z}$ 的形如 $p(z,\bar{z})=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k\stackrel{l}{\stackrel{‾}{z}}(c_{k,l}\in ℂ)$ 的多项式来逼近，其中 $\bar{z}$ 表示 $z$ 的复共轭，而复共轭是复数上的一个對合。在将 $z$ 替换为 $a$ 时，为使 $\bar{z}$ 也有对应，须考虑 $𝒜$ 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 $*$ 的巴拿赫代数，这时 $\bar{z}$ 就被替换为 $a^{*}$ 。由于多项式环 $ℂ[z,\bar{z}]$ 是交换环，为得到一个 $ℂ[z,\bar{z}]\to 𝒜$ 的代數同態，须限制在 $𝒜$ 中的正规元（即满足 $a^{*}a=a{a}^{*}$ 的成员）上。

须保证：若多项式序列 $(p_n(z,\bar{z}){)}_n$ 在 $\sigma (a)$ 上一致收斂于一连续函数 $f$ ，则 $𝒜$ 上的序列 $(p_n(a,a^{*}){)}_n$ 收敛于 $f(a)\in 𝒜$ 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

定义

Template:Math theorem 由于*-同态性质，有以下对任意函数 $f,g\in 𝒞(\sigma (a))$ 与标量 $\lambda ,\mu \in ℂ$ 有效的计算规则： Template:Sfn

$(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)$	（线性）
$(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$	（乘法）
$\bar{f}(a)=:(f^{*})(a)=(f(a){)}^{*}$	（对合）

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以Template:Le，得到一个扩大了的C*-代数 ${𝒜}_1$ 。对于 $a\in 𝒜$ 和满足 $f(0)=0$ 的 $f\in 𝒞(\sigma (a))$ ，有 $0\in \sigma (a)$ 和 $f(a)\in 𝒜\subset {𝒜}_1$ 。Template:Sfn

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

在泛函分析中，常对正规算子 $T$ 的连续函数演算感兴趣，即 $𝒜$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构成的C*-代数 $ℬ(H)$ 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 Template:Sfn

性质

到子代数的等距同构

连续函数演算 ${\mathrm{\Phi }}_a$ 是到 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代数 $C^{*}(a,e)$ 的等距同构，即：Template:Sfn

• Template:Nowrap于是 ${\mathrm{\Phi }}_a$显然是连续的。
• Template:Nowrap 也就是说 $C^{*}(a,e)$ 是连续函数演算的值域。

由于 $a$ 是 $𝒜$ 中的正规元，由 $a$ 和 $e$ 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， $f(a)$ 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。Template:Sfn

与其他函数演算的关系

全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。Template:Sfn因此，连续函数演算在多项式 $p(z,\bar{z})$ 上重合于多项式函数演算Template:Sfn： $$\mathrm{\forall }{c}_{k,l}\in ℂ,{\mathrm{\Phi }}_a(p(z,\bar{z}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{a}^k(a^{*}{)}^l,$$ 其中 $p(z,\bar{z})=\sum _{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k\stackrel{l}{\stackrel{‾}{z}}$ 。

对于 $\sigma (a)$ 上一致收敛于函数 $f\in 𝒞(\sigma (a))$ 的函数序列 $f_n\in 𝒞(\sigma (a))$ ， $f_n(a)$ 收敛于 $f(a)$ 。Template:Sfn对于 $\sigma (a)$ 上绝对且一致地收敛的幂级数 $f(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ ，就有 $f(a)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{a}^n$ 。Template:Sfn

反函数的连续函数演算

若有 $f\in 𝒞(\sigma (a))$ 和 $g\in 𝒞(\sigma (f(a)))$ ，那么它们的函数演算的复合满足 $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ 。Template:Sfn

设有两个正规元 $a,b\in {𝒜}_N$ 满足 $f(a)=f(b)$ ，且无论限制在 $\sigma (a)$ 还是 $\sigma (b)$ 上时 $g$ 都是 $f$ 的反函数，那么必然有 $a=b$ ，因为 $a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b$ 。Template:Sfn

谱映射定理

谱映射定理 $$\mathrm{\forall }f\in 𝒞(\sigma (a)),\sigma (f(a))=f(\sigma (a))$$ 也成立Template:Sfn。

对于 $b\in 𝒜$ ，若有 $ab=ba$ ，那么也有 $$\mathrm{\forall }f\in 𝒞(\sigma (a)),f(a)b=bf(a).$$ 也就是说若 $b$ 与 $a$ 对易，则它也与 $a$ 的在连续函数下的像 $f(a)$ 对易。Template:Sfn

与*-同态相容

设 $\mathrm{\Psi }:𝒜\to ℬ$ 是C*-代数 $𝒜$ 和 $ℬ$ 间的保单位元的*-同态，那么 $\mathrm{\Psi }$ 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说： $$\mathrm{\forall }f\in C(\sigma (a)),\mathrm{\Psi }(f(a))=f(\mathrm{\Psi }(a)).$$ 特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。Template:Sfn

函数性质与像的性质间的关系

利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质Template:Sfn：

• $f(a)$ 是可逆元当且仅当 $f$ 在 $\sigma (a)$ 上没有零点。Template:Sfn于是有 $f(a{)}^{-1}=\frac{1}{f}(a)$ 。Template:Sfn

• $f(a)$ 是自伴元当且仅当 $f$ 是实值函数，也就是$\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$说 Template:Nowrap
• $f(a)$ 是正元（ $f(a)\ge 0$ ）当且仅当 $f\ge 0$ ，也就是说 Template:Nowrap
• $f(a)$ 是幺正元，若 $f$ 的值落在复单位圆中。也就是说， $f(\sigma (a))\subseteq 𝕋=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert \lambda \Vert =1\}.$
• $f(a)$ 是一个投影，若 $f$ 仅取值 $0$ 或 $1$ ，也就是说 Template:Nowrap

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在Template:Section link一节中展示。

有界算子代数的谱

在 $𝒜$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构C*-代数 $ℬ(H)$ 的特殊情况下，正规算子 $T\in ℬ(H)$ 的对应特征值 $\lambda \in \sigma (T)$ 的特征向量 $v\in H$ 也将是算子 $f(T)$ 关于特征值 $f(\lambda )\in \sigma (f(T))$ 的特征向量。设 $Tv=\lambda v$ ， 则 $\mathrm{\forall }f\in \sigma (T),f(T)v=f(\lambda )v$ 。Template:Sfn

应用

下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

谱

设 $𝒜$ 是一个C*-代数而 $a\in {𝒜}_N$ 为其中一个正规元，则对于谱 $\sigma (a)$ 有以下结论Template:Sfn：

• $a$ 是自伴元当且仅当 $\sigma (a)\subseteq ℝ.$
• $a$ 是幺正元当且仅当 $\sigma (a)\subseteq 𝕋=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert \lambda \Vert =1\}.$
• $a$ 是一个投影当且仅当 Template:Nowrap

开方

设 $a$ 是 C*-代数 $𝒜$ 中的正元，那么对于每一个 $n\in \mathbb{N}$ 存在一个唯一确定的正元 $b\in {𝒜}_{+}$ 满足 $b^n=a$ ，即唯一的 $n$ 次方根。Template:Sfn

若 $a\in {𝒜}_{sa}$ 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 $n\in \mathbb{N}$ ，存在唯一确定的自伴元 $b\in {𝒜}_{sa}$ 满足 $b^n=a$ 。Template:Sfn

类似地，对于C*-代数 $𝒜$ 中正元 $a$ 和任意 $\alpha \ge 0$ ， $a^{\alpha }$ 唯一定义了一个 $C^{*}(a)$ 中的正元，并满足 $$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \ge 0,a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.$$ 若 $a$ 是可逆元，则还可以推广到取负值的 $\alpha$ 。Template:Sfn

绝对值

若 $a\in 𝒜$ 且 $a^{*}a$ 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 $|a|=\sqrt{a^{*}a}$ ，因为它在正实数上连续。Template:Sfn

设 $a$ 是C*-代数 $𝒜$ 中的自伴元，则存在正元 $a_{+},a_{-}\in {𝒜}_{+}$ ，使得 $a=a_{+}-a_{-}$ 和 $a_{+}{a}_{-}=a_{-}{a}_{+}=0$ 成立。 $a_{+}$ 和 $a_{-}$ 也被称为正部和负部。Template:Sfn此外还有 $|a|=a_{+}+a_{-}$ 。Template:Sfn

幺正元

若 $a$ 是有单位元 $e$ 的C*-代数 $𝒜$ 中的自伴元，那么 $u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}$ 是幺正元，其中 $\mathrm{i}$ 表示虚数单位。反过来，若 $u\in {𝒜}_U$ 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 $\sigma (u)⊊𝕋$ ），那么存在一个自伴元 $a\in {𝒜}_{sa}$ 满足 $u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}$ 。Template:Sfn

谱分解定理

设 $𝒜$ 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 $a\in {𝒜}_N$ 。假设谱由 $n$ 个两两不相交的闭子集 ${\sigma }_k\subset ℂ,(1\le k\le n)$ 构成，也就是说 $\sigma (a)={\sigma }_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup {\sigma }_n$ 。那么就存在投影 $p_1,\dots ,p_n\in 𝒜$ ，使得下面的命题对任意 $j\ge 1,k\le n$ 都成立：Template:Sfn

1. 投影的谱满足 $\sigma (p_k)={\sigma }_k.$
2. 投影与 $a$ 对易，即 $p_{k}a=a{p}_k.$
3. 投影是正交的，即 $p_j{p}_k={\delta }_{jk}{p}_k.$
4. 投影之和为单位元，即 $\sum _{k=1}^n{p}_k=e.$

特别是，有分解 $a={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ，其中 $\mathrm{\forall }1\le k\le n,\sigma (a_k)={\sigma }_k.$

参考资料

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• Template:Cite book English translation of Template:Cite book
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外部链接

• Continuous functional calculus - PlanetMath Template:Wayback