不交集

Template:NoteTA 在數學裡，若兩個集合沒有共同的元素，稱為不交（disjoint）。例如 ${1, 2, 3}$ 和 ${4, 5, 6}$ 為不交集（disjoint sets）。

解釋

從定義說，兩個集合 $A$ 和 $B$ 為不交，若其交集為空集，即^[1]

A \cap B = \emptyset

此一定義可推廣至集族上。若然一個集族裡的任意兩個相異集合均為不交，則稱之為兩兩不交。

形式上，設 $I$ 為索引集，且對 $I$ 內的任一元素 $i$ ，設 $A_{i}$ 為一集合。然後 ${A_{i} : i \in I}$ 為兩兩不交，當對任何於 $I$ 內的 $i$ 和 $j$ 且 $i \neq j$ ，有

A_{i} \cap A_{j} = \emptyset

舉例來說， ${{1}, {2}, {3}, \dots}}$ 便為兩兩不交。若 ${A_{i}}$ 為兩兩不交，則 ${A_{i}}$ 中各集合的交集為空集：

⋂_{i \in I} A_{i} = \emptyset

相反則不必為真： ${{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}}$ 內各集合的交集為空集，但非兩兩不交。事實上，其內的集合甚至沒有兩個是不交集。

集合划分 $X$ 是由一群兩兩不交的非空集合 ${A_{i} : i \in I}$ 組成的集族。

⋃_{i \in I} A_{i} = X