魏尔施特拉斯逼近定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

• 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
• 闭区间上周期为$2\pi$的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

第一逼近定理可以推广至${ℝ}^n$上的有界闭集

证明

• 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导。
• 第二逼近定理的证明：

设$f(t)$为周期为$2\pi$的连续函数，定义$f_a(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{a}^{\left|n\right|}{e}^{int}$为一三角级数。 首先证明${\left\{e^{int}\right\}}_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}$，为一个正交函数系：

$⟨e^{int},e^{imt}⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(n-m)t}dt=0$

$⟨e^{int},e^{int}⟩=||e^{int}|{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\left|e^{int}\right|}^{2}dt=1$(因为$\left|e^{int}\right|=1$)。 故令$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{int}$，于是我们可以求出$c_n=⟨f(t),e^{int}⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{2\pi }{\overset{0}{\int }}f(t)e^{-int}dt$。 将$c_n$代入 $f_a(t)$ 的定义式中，有：

$f_a(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{2\pi }{\overset{0}{\int }}(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}^{\left|n\right|}{e}^{in(t-s)})f(s)ds$。

下面对积分号中的和式S求和，令$w=a{e}^{i(t-s)}$，那么就有：$S=...+{\overline{w}}^2+\overline{w}+1+w+w^2+...$，分成正负两部分求和，可知:

$S=1+W+\overline{W}=1+2Re\{W\}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos (t-s)+a^2}$ 代回原积分，有$f_a(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{2\pi }{\overset{0}{\int }}\frac{1-a^2}{1-2a\cos (t-s)+a^2}f(s)ds$，这就是f(s)的泊松积分。其中$p_a(\theta )=\frac{1}{2\pi }\frac{1-a^2}{1-2a\cos (\theta )+a^2}$称为泊松核。故有：

$f_a(t)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{p}_a(x)f(t-x)dx$

我们要检验的的是$|f_a(t)-f(t)|$在$a\to 1$时的情况，可以证明：

$|f_a(t)-f(t)|<\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{p}_a(x)|f(t-x)-f(t)|dx$

由$f(t)$的一致连续性，可以证明，上式在$a\to 1$时，满足一致收敛的条件，故我们可以用$f_a(t)$来一致逼近$f(t)$。

参阅

• 傅里叶级数