可逆元

单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 $R$ 內的可逆元是指一 $R$ 的可逆元素，即一元素 $u$ 使得存在一於 $R$ 內的 $v$ 有下列性質： $u v = v u = 1_{R}$ ，其中 $1_{R}$ 是乘法單位元。

亦即， $u$ 是 $R$ 內乘法-{zh-hant: 么半群; zh-hans: 幺半群}-的一可逆元素。

可逆元群

主条目：单位群

$R$ 的可逆元組成了一於乘法下的群 $U (R)$ ，稱做 $R$ 的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有時亦被標記成R^*或R^×。

在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S)，當f會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環R是一個除環若且唯若R^* = R \ {0}。

任一單位根均是某一單作環 $R$ 內的可逆元。（若 $r$ 是一單位根，且 $r^{n} = 1$ ，則 $r^{- 1} = r^{n - 1}$ 亦為 $R$ 的元素）。
在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環 $ℤ (\sqrt{5})$ ， $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ ，因此 $(\sqrt{5} + 2), (\sqrt{5} - 2), 1$ 都是可逆元。
在環 $M (n, F)$ ，於一體 $F$ 上的 $n \times n$ 矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。